Домашнее задание № 2. Биссектриса угла и перпендикуляр к прямой. Базовый уровень. Задача 1. Луч ОС — биссектриса угла АОВ. Найдите: а) угол АОС, если ∠АОВ = 84°; б) угол АОВ, если ∠ВОС = 37°. Задача 2. Угол между биссектрисой угла и его стороной равен 25°. Найдите величину угла. Задача 3. Прямые a и b пересекаются. Угол между ними равен 35°. Найдите все углы, образованные при пересечении этих прямых. Повышенный уровень. Задача 4*. Угол между биссектрисой одного из смежных углов и стороной другого угла равен 120°. Найдите меньший из этих смежных углов. Задача 5*. Из вершины угла 120° проведены два луча, делящие его на три равные части. Найдите угол между биссектрисами крайних из получившихся углов.

Базовый уровень

1. Луч ОС — биссектриса, поэтому делит угол АОВ на две равные части.

   а) \(\angle AOC=84°:2=42°\).

   б) \(\angle AOB=2\cdot\angle BOC=2\cdot37°=74°\).

   Ответ: а) 42°; б) 74°.

2. Биссектриса делит угол пополам. Если угол между биссектрисой и стороной равен 25°, это половина искомого угла. Поэтому \(2\cdot25°=50°\).

   Ответ: 50°.

3. Вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме дают 180°. Углы, вертикальные данному углу 35°, также равны 35°. Каждый смежный с ними угол равен \(180°-35°=145°\).

   Ответ: 35°, 145°, 35° и 145°.

Повышенный уровень

4. Пусть меньший из смежных углов равен \(x\), тогда другой равен \(180°-x\). Биссектриса большего угла образует с его общей стороной угол \((180°-x):2\). Угол между этой биссектрисой и внешней стороной меньшего угла равен \(180°-(180°-x):2\). По условию он равен 120°:

   \(180°-(180°-x):2=120°\), откуда \((180°-x):2=60°\), \(180°-x=120°\), \(x=60°\).

   Если биссектриса проведена в меньшем угле, расчёт даёт тот же меньший угол: угол между ней и внешней стороной другого угла равен \(180°-x:2=120°\), откуда \(x=120°\) для угла с биссектрисой, а меньший смежный угол равен 60°.

   Ответ: 60°.

5. Два луча делят угол 120° на три равные части: каждая часть равна \(120°:3=40°\). Биссектриса первого крайнего угла отстоит от начальной стороны на \(40°:2=20°\). Биссектриса другого крайнего угла отстоит от неё на \(120°-20°=100°\). Угол между биссектрисами равен \(100°-20°=80°\).

   Ответ: 80°.