Домашнее задание. 2. Дополнительная задача: В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AC = A₁C₁, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁. D ∈ BC, DC = 2 BD, D₁ ∈ B₁C₁, D₁C₁ = 2 B₁D₁. Докажите, что AD = A₁D₁.

1. По двум сторонам и углу между ними треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁. Поэтому BC = B₁C₁ и соответствующие углы при вершинах B и B₁ равны.

2. Из DC = 2BD следует BC = BD + DC = 3BD, значит, BD = BC/3. Аналогично B₁D₁ = B₁C₁/3. Поскольку BC = B₁C₁, получаем BD = B₁D₁.

3. В треугольниках ABD и A₁B₁D₁ равны AB = A₁B₁, BD = B₁D₁ и углы ABD = A₁B₁D₁: последние равны как соответствующие углы равных треугольников ABC и A₁B₁C₁.

4. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Их соответствующие стороны равны.

Ответ: AD = A₁D₁.