Домашнее задание 8 класс.docx

Домашнее задание

1. Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p. Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если:

• а) r = 16 см, d = 12 см;
• б) r = 5 см, d = 4,2 см;
• в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм;
• г) r = 8 см, d = 1,2 дм;
• д) r = 5 см, d = 50 мм?

Решение:

• а) r = 16 см, d = 12 см: Так как d < r, прямая пересекает окружность в двух точках.
• б) r = 5 см, d = 4,2 см: Так как d < r, прямая пересекает окружность в двух точках.
• в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм: Так как d < r, прямая пересекает окружность в двух точках.
• г) r = 8 см, d = 1,2 дм (12 см): Так как d < r, прямая пересекает окружность в двух точках.
• д) r = 5 см, d = 50 мм (5 см): Так как d = r, прямая касается окружности в одной точке.

2. Прямая AB касается окружности с центром O радиуса r в точке B. Найдите AB, если OA = 2 см, а r = 1,5 см.

Решение:

• Треугольник OBA является прямоугольным (так как OB — радиус, проведенный в точку касания, и перпендикулярен касательной AB).
• По теореме Пифагора: AB² + OB² = OA²
• AB² + (1,5 см)² = (2 см)²
• AB² + 2,25 см² = 4 см²
• AB² = 4 см² - 2,25 см² = 1,75 см²
• AB = √1,75 см ≈ 1,32 см

Ответ: AB ≈ 1,32 см

3. Определите взаимное расположение двух окружностей, радиусы которых равны 5 и 9, если расстояние между их центрами равно:

• а) 16;
• б) 14;
• в) 7;
• г) 4.

Решение:

• Обозначим радиусы как r₁ = 5 и r₂ = 9, а расстояние между центрами как d.
• а) d = 16: Так как d = r₁ + r₂ (16 = 5 + 9), окружности касаются внешним образом.
• б) d = 14: Так как r₁ + r₂ > d > |r₂ - r₁| (14 > 4), окружности пересекаются в двух точках.
• в) d = 7: Так как |r₂ - r₁| < d < r₁ + r₂ (4 < 7 < 14), окружности пересекаются в двух точках.
• г) d = 4: Так как d = |r₂ - r₁| (4 = 9 - 5), окружности касаются внутренним образом.

4. Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами O₁ и O₂ и радиусами R и r, если:

• а) O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см;
• б) O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см;
• в) O₁O₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см;
• г) O₁O₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см;
• д) O₁O₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см?

Решение:

• а) O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см: Так как O₁O₂ < R + r (12 < 14) и O₁O₂ > |R - r| (12 > 2), окружности пересекаются. Имеют 2 общие касательные.
• б) O₁O₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см: Так как O₁O₂ = R + r (12 = 8 + 4), окружности касаются внешним образом. Имеют 3 общие касательные.
• в) O₁O₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см: Так как O₁O₂ > R + r (12 > 10), окружности не пересекаются и не касаются, одна вне другой. Имеют 4 общие касательные.
• г) O₁O₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см: Так как O₁O₂ = |R - r| (2 = 8 - 6), окружности касаются внутренним образом. Имеют 1 общую касательную.
• д) O₁O₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см: Так как |R - r| < O₁O₂ < R + r (1 < 3 < 9), окружности пересекаются. Имеют 2 общие касательные.