ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ на 19 марта 2026 Подготовка к Контрольной работе 1. Строителям нужно закрепить опору длиной 17 м к стене дома так, чтобы ее верхний конец находился на высоте 8 м от земли. На каком расстоянии от стены должен стоять нижний конец опоры? 2. В равнобедренной трапеции ABCD BC | AD известно, что АВ = CD = 13 см, ВС = 6 см, AD = 16 см. Найдите: а) Высоту трапеции ВН. б) Синус угла А трапеции. 3. Доказать основное тригонометрическое тождество.

Пусть расстояние от стены до нижнего конца опоры равно x метров. Тогда, по теореме Пифагора, имеем: \[x^2 + 8^2 = 17^2\]\[x^2 + 64 = 289\]\[x^2 = 289 - 64\]\[x^2 = 225\]\[x = \sqrt{225}\]\[x = 15\]

В равнобедренной трапеции ABCD, проведем высоты BH и CF. Тогда AH = FD = (AD - BC) / 2 = (16 - 6) / 2 = 5 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора, имеем: \[BH^2 = AB^2 - AH^2\]\[BH^2 = 13^2 - 5^2\]\[BH^2 = 169 - 25\]\[BH^2 = 144\]\[BH = \sqrt{144}\]\[BH = 12\]

Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BH) к гипотенузе (AB): \[\sin A = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13}\]

Основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\]

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольный треугольник с углом α. Пусть a и b - катеты, а c - гипотенуза. Тогда: \[\sin(\alpha) = \frac{a}{c}\]\[\cos(\alpha) = \frac{b}{c}\]

Подставим эти выражения в основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = \frac{a^2 + b^2}{c^2}\]

По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника: \[a^2 + b^2 = c^2\]

Тогда: \[\frac{a^2 + b^2}{c^2} = \frac{c^2}{c^2} = 1\]