Домашнее задание от 20.01.26 1) Отрезки М№ и РК имеют общую середину (рис. 238). До- кажите, что ΔΝΟΡ - ΔΜок. 2) Луч AD - биссектриса угла ВАС (рис. 239). Докажите, что АВ=АС, если известно, что LADB=∠ADC. 3) Треугольник АВС равнобедренный, ВЕ — биссектриса треугольника (рис. 240). Найдите: а) ВАС, если ∠ACK=107°; б) периметр треугольника АВС, если ЕА-3 см, ВС=10 см. 4) Треугольник АВС равнобедренный (АВ=АC), ∠ABC= =20° (рис. 251). Найдите угол DCF. 5) Точка чка D лежит на стороне АС треугольника АВС, ∠BDA=40°. Докажите, что ВС>BD.

1) Отрезки MN и PK имеют общую середину (рис. 238). Докажите, что ΔNOP = ΔMOK.

Для доказательства равенства треугольников ΔNOP и ΔMOK, нужно доказать, что они равны по двум сторонам и углу между ними.

• По условию, отрезки MN и PK имеют общую середину, обозначим её точкой O. Это означает, что NO = OM и PO = OK.
• Углы NOP и MOK вертикальные, следовательно, ∠NOP = ∠MOK.
• Таким образом, треугольники ΔNOP и ΔMOK равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: ΔNOP = ΔMOK.

2) Луч AD - биссектриса угла BAC (рис. 239). Докажите, что AB = AC, если известно, что ∠ADB = ∠ADC.

Для доказательства равенства сторон AB и AC, рассмотрим треугольники ΔADB и ΔADC:

• AD - общая сторона.
• ∠ADB = ∠ADC (по условию).
• Так как AD - биссектриса угла BAC, то ∠BAD = ∠CAD.
• Таким образом, треугольники ΔADB и ΔADC равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AB = AC.

Ответ: AB = AC.

3) Треугольник ABC равнобедренный, BE - биссектриса треугольника (рис. 240). Найдите:

a) ∠BAC, если ∠ACK = 107°;

б) периметр треугольника ABC, если EA = 3 см, BC = 10 см.

Решение:

a) Найдем ∠BAC, если ∠ACK = 107°.

• Так как ∠ACK - внешний угол треугольника ABC, то ∠ACK = ∠BAC + ∠ABC.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠ABC.
• Таким образом, ∠ACK = 2 * ∠ABC.
• Отсюда, ∠ABC = ∠ACK / 2 = 107° / 2 = 53.5°.
• Значит, ∠BAC = ∠ABC = 53.5°.

б) Найдем периметр треугольника ABC, если EA = 3 см, BC = 10 см.

• Так как BE - биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, она также является медианой и высотой. Следовательно, AE = EC.
• Если EA = 3 см, то AC = 2 * EA = 2 * 3 см = 6 см.
• Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), то AB = 6 см.
• Периметр треугольника ABC равен: P = AB + AC + BC = 6 см + 6 см + 10 см = 22 см.

Ответ: а) ∠BAC = 53.5°; б) P = 22 см.

4) Треугольник ABC равнобедренный (AB = AC), ∠ABC = 20° (рис. 251). Найдите угол DCF.

• Так как треугольник ABC равнобедренный, то ∠ABC = ∠ACB = 20°.
• Сумма углов треугольника ABC равна 180°, следовательно, ∠BAC = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - (20° + 20°) = 180° - 40° = 140°.
• ∠ACD является смежным с углом ∠ACB, поэтому ∠ACD = 180° - ∠ACB = 180° - 20° = 160°.
• Внешний угол DCF является смежным с углом ∠ACD, поэтому ∠DCF = 180° - ∠ACD = 180° - 160° = 20°.

Ответ: ∠DCF = 20°.

5) Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC, ∠BDA = 40°. Докажите, что BC > BD.

Для доказательства того, что BC > BD, рассмотрим треугольник ABD:

• ∠BDA = 40°.
• Так как ∠BDA является внешним углом треугольника BDC, то ∠BDA > ∠BCD. Следовательно, ∠BCD < 40°.
• В треугольнике BDC против большего угла лежит большая сторона.
• ∠BDC = 180° - ∠BDA = 180° - 40° = 140°.
• Тогда ∠CBD = 180° - ∠BDC - ∠BCD = 180° - 140° - ∠BCD = 40° - ∠BCD.
• Так как ∠BCD < 40°, то ∠CBD > 0°.
• Теперь сравним ∠BDC и ∠BCD. ∠BDC = 140°, а ∠BCD < 40°. Значит, ∠BDC > ∠BCD.
• Таким образом, сторона BC (лежащая против угла ∠BDC) больше стороны BD (лежащей против угла ∠BCD). Следовательно, BC > BD.

Ответ: BC > BD.