Домашнее задание по алгебре μα 16.02.26: Задание 1. Решите уравнение: a) 5x+14 = x² x²-4 8 x²-4. 10 б)3-1=2 X Задание 2. Два велосипедиста одновременно отправились в 120-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл k финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста пришедшего к финишу первым.

Задание 1. Решите уравнение:

а) \(\frac{5x+14}{x^2-4} = \frac{x^2}{x^2-4}\)

ОДЗ: \(x^2 - 4
eq 0\), следовательно, \(x
eq \pm 2\).

Умножаем обе части уравнения на \(x^2 - 4\):

\[5x + 14 = x^2\] \[x^2 - 5x - 14 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81\)

\[x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Так как \(x
eq -2\), то корень \(x = -2\) не подходит.

Ответ: \(x = 7\)

б) \(\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2\)

ОДЗ: \(x
eq 3, x
eq 0\)

Приводим дроби к общему знаменателю:

\[\frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} = 2\] \[\frac{8x - 10x + 30}{x^2 - 3x} = 2\] \[\frac{-2x + 30}{x^2 - 3x} = 2\] \[-2x + 30 = 2(x^2 - 3x)\] \[-2x + 30 = 2x^2 - 6x\] \[2x^2 - 4x - 30 = 0\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3\]

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x_1 = 5, x_2 = -3\)

Задание 2. Два велосипедиста

Пусть \(v_2\) – скорость второго велосипедиста, тогда \(v_1 = v_2 + 3\) – скорость первого велосипедиста.

Время, которое затратил второй велосипедист: \(t_2 = \frac{120}{v_2}\)

Время, которое затратил первый велосипедист: \(t_1 = \frac{120}{v_2 + 3}\)

Из условия, что первый прибыл на 2 часа раньше, получаем уравнение:

\[\frac{120}{v_2} - \frac{120}{v_2 + 3} = 2\]

Умножаем обе части уравнения на \(v_2(v_2 + 3)\):

\[120(v_2 + 3) - 120v_2 = 2v_2(v_2 + 3)\] \[120v_2 + 360 - 120v_2 = 2v_2^2 + 6v_2\] \[2v_2^2 + 6v_2 - 360 = 0\] \[v_2^2 + 3v_2 - 180 = 0\]

Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант: \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729\)

\[v_{2_1} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[v_{2_2} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15\]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \(v_2 = 12\) км/ч.

Тогда \(v_1 = v_2 + 3 = 12 + 3 = 15\) км/ч.

Ответ: Скорость первого велосипедиста, пришедшего к финишу первым, составляет 15 км/ч.

Ответ: а) x=7, б) x1 = 5, x2 = -3, задание 2: 15 км/ч

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!