Домашнее задание по геометрии для 8 А класса на 29.04 На 29.04: Простой уровень: № 1,2, ИЛИ Повышенный уровень сложности: № 3

№1 Решите задачу:

1. 1.1. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён параллелограмм. Найдите длину его меньшей диагонали.

   Для решения этой задачи необходимо: 1. Определить координаты вершин параллелограмма. 2. Вычислить длины обеих диагоналей по формуле расстояния между двумя точками. 3. Сравнить полученные длины и выбрать меньшую.

   Ответ: (необходимо измерить по изображению)

2. 1.2. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён острый угол. Найдите синус этого угла.

   Для решения этой задачи необходимо: 1. Определить координаты вершины угла и точки на одной из его сторон. 2. Построить прямоугольный треугольник, опустив перпендикуляр из точки на вторую сторону угла. 3. Вычислить длины противолежащего катета и гипотенузы. 4. Найти синус как отношение противолежащего катета к гипотенузе.

   Ответ: (необходимо измерить по изображению)

3. 1.3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его медианы, выходящей из вершины В.

   Для решения этой задачи необходимо: 1. Определить координаты вершин треугольника А, В, С. 2. Найти координаты середины стороны АС (точка D). 3. Вычислить длину отрезка BD, который является медианой, используя формулу расстояния между двумя точками.

   Ответ: (необходимо измерить по изображению)

№2 Решите задачу:

1. 2.1. Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна 4√3.

   В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам. Используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной стороны и стороной треугольника, найдем высоту.

   Решение:

   Пусть сторона равностороннего треугольника равна a = 4√3. Высота h делит основание пополам, то есть образует прямоугольный треугольник с катетами h и a/2, и гипотенузой a.

   \[ h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \]

   \[ h^2 + (\frac{4\sqrt{3}}{2})^2 = (4\sqrt{3})^2 \]

   \[ h^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 \]

   \[ h^2 + 12 = 48 \]

   \[ h^2 = 48 - 12 \]

   \[ h^2 = 36 \]

   \[ h = \sqrt{36} = 6 \]

   Ответ: 6

2. 2.2. В треугольнике АВС АС = BC, AB = 18, tgA = $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$. Найдите длину стороны АС.

   Так как АС = BC, треугольник АВС равнобедренный. Проведем высоту CD к основанию AB. В прямоугольном треугольнике ADC, AC — гипотенуза, AD = AB/2 = 18/2 = 9. tgA = $$\frac{CD}{AD}$$. Найдем CD.

   Решение:

   Так как tgA = $$\frac{\sqrt{7}}{2}$$, то \[ \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]

   Поскольку AD = 9, имеем:

   \[ \frac{CD}{9} = \frac{\sqrt{7}}{2} \]

   \[ CD = 9 \times \frac{\sqrt{7}}{2} = \frac{9\sqrt{7}}{2} \]

   Теперь найдем AC, используя теорему Пифагора для треугольника ADC:

   \[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

   \[ AC^2 = 9^2 + (\frac{9\sqrt{7}}{2})^2 \]

   \[ AC^2 = 81 + \frac{81 \times 7}{4} \]

   \[ AC^2 = 81 + \frac{567}{4} \]

   \[ AC^2 = \frac{324 + 567}{4} \]

   \[ AC^2 = \frac{891}{4} \]

   \[ AC = \sqrt{\frac{891}{4}} = \frac{\sqrt{81 \times 11}}{2} = \frac{9\sqrt{11}}{2} \]

   Ответ: $$\frac{9\sqrt{11}}{2}$$

3. 2.3. Углы треугольника относятся как 2 : 4 : 9. Найдите меньший из этих углов. Ответ дайте в градусах.

   Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Обозначим углы как 2x, 4x и 9x. Найдем x, а затем меньший угол (2x).

   Решение:

   \[ 2x + 4x + 9x = 180^{\circ} \]

   \[ 15x = 180^{\circ} \]

   \[ x = \frac{180^{\circ}}{15} = 12^{\circ} \]

   Меньший угол равен 2x:

   \[ 2x = 2 \times 12^{\circ} = 24^{\circ} \]

   Ответ: 24

№3 Решите задачу:

1. 3.1. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, ∠ACB = 75 градусов. На стороне ВС взяли точки Х и У так, что точка Х лежит между точками В и Ү, АХ = ВХ и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка АУ, если АХ = 22.

   Так как AB = BC, треугольник ABC — равнобедренный. Угол BAC = Угол BCA = 75 градусов. Угол ABC = 180 - (75 + 75) = 30 градусов.

   По условию AX = BX, следовательно, треугольник ABX — равнобедренный. Угол BAX = Угол ABX = 30 градусов.

   Угол AXB = 180 - (30 + 30) = 120 градусов.

   По условию ∠BAX = ∠YAX. Так как ∠BAX = 30 градусов, то ∠YAX = 30 градусов.

   Угол BAC = 75 градусов. ∠CAX = ∠BAC - ∠BAX = 75 - 30 = 45 градусов.

   Угол YAC = ∠BAC - ∠YAX = 75 - 30 = 45 градусов. (Здесь есть противоречие в условии, если X лежит между B и Y, и Y лежит на BC. Проверим условие ∠BAX = ∠YAX.)

   Если ∠BAX = ∠YAX, то AX является биссектрисой угла BAC. Но это противоречит тому, что ∠BAX = 30, а ∠BAC = 75.

   Давайте переосмыслим условие: ∠BAX = ∠YAX. Это может означать, что AX и AY делят угол BAC на три равные части, если X и Y расположены так, что AX и AY являются биссектрисами. Однако, если X и Y на стороне BC, то AX и AY — это отрезки.

   Предположим, что ∠BAX = ∠CAX / 2, и Y — такая точка на BC, что AY — биссектриса ∠BAC.

   Переформулируем условие ∠BAX = ∠YAX так: AX является биссектрисой угла BAC. Тогда ∠BAX = ∠CAX.

   Если ∠BAX = ∠YAX, это означает, что AY — биссектриса угла BAC. Тогда ∠BAY = ∠CAY.

   Но условие AX=BX означает, что треугольник ABX равнобедренный, и ∠BAX = ∠ABX = 30.

   Тогда ∠BAC = 75, ∠BAX = 30. Если ∠BAX = ∠YAX, то ∠YAX = 30. Тогда ∠BAY = ∠BAX + ∠XAY = 30 + 30 = 60.

   AY — биссектриса угла BAC, тогда ∠BAY = ∠CAY = 75/2 = 37.5.

   В условии ∠BAX = ∠YAX. И X лежит между B и Y.

   Проверим условие: AX=BX => △ABX равнобедренный => ∠BAX = ∠ABX = 30.

   ∠BAC = 75.

   ∠XAY = ?

   ∠CAX = ∠BAC - ∠BAX = 75 - 30 = 45.

   Если AX = 22, то BX = 22.

   Из условия ∠BAX = ∠YAX = 30.

   Угол B AY = ∠BAX + ∠XAY = 30 + 30 = 60.

   Точка Y лежит на BC.

   В △ABC, ∠ABC = 30°, ∠BCA = 75°, ∠BAC = 75°.

   В △ABX, ∠ABX = 30°, ∠BAX = 30°, ∠AXB = 120°.

   Пусть AY - биссектриса ∠BAC. Тогда ∠BAY = ∠CAY = 75/2 = 37.5.

   Предположим, что X лежит на AY. Тогда ∠BAX = 37.5, что противоречит AX=BX.

   Вернемся к условию ∠BAX = ∠YAX. Это означает, что AX и AY являются частями биссектрисы, или они параллельны.

   Пусть ∠BAX = α. Тогда ∠YAX = α. AX = 22.

   Из AX=BX, ∠ABX = ∠BAX = α.

   ∠ABC = 30°. Значит, α = 30°.

   Тогда ∠BAX = 30°, ∠YAX = 30°.

   ∠BAC = 75°.

   ∠XAY = 30°.

   ∠CAY = ∠BAC - ∠BAY = 75° - (∠BAX + ∠XAY) = 75° - (30° + 30°) = 75° - 60° = 15°.

   Угол BC A = 75°.

   В треугольнике AXY, ∠AYX = 180° - ∠CAY - ∠XAY (если Y лежит на BC).

   ∠AYX = 180° - 15° - 30° = 135°.

   В △AXY, AX = 22. Используем теорему синусов для △AXY:

   \[ \frac{AX}{\sin(\angle AYX)} = \frac{AY}{\sin(\angle AX Y)} \]

   \[ \frac{22}{\sin(135^{\circ})} = \frac{AY}{\sin(120^{\circ})} \]

   \[ AY = 22 \times \frac{\sin(120^{\circ})}{\sin(135^{\circ})} \]

   \[ AY = 22 \times \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = 22 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 22 \times \frac{\sqrt{6}}{2} = 11\sqrt{6} \]

   Ответ: $$11\sqrt{6}$$

2. 3.2. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ провели высоту CD и биссектрису CL. Найдите угол DCL, если угол САВ равен 25 градусов.

   В прямоугольном треугольнике ABC: ∠C = 90°, ∠A = 25°, ∠B = 90° - 25° = 65°.

   CD — высота, значит ∠CDA = 90°.

   В △ACD: ∠A = 25°, ∠CDA = 90°, ∠ACD = 180° - 90° - 25° = 65°.

   CL — биссектриса ∠ACB. Значит, ∠ACL = ∠BCL = 90° / 2 = 45°.

   Угол DCL = ∠ACD - ∠ACL.

   Решение:

   \[ \angle DCL = \angle ACD - \angle ACL = 65^{\circ} - 45^{\circ} = 20^{\circ} \]

   Ответ: 20

3. 3.3. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А, равного 60 градусов, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 5.

   Пусть AM — биссектриса ∠DAB. Так как ∠DAB = 60°, то ∠DAM = ∠MAB = 30°.

   Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC, следовательно, ∠DMA = ∠MAB (как накрест лежащие углы при параллельных AD и BC и секущей AM). Значит, ∠DMA = 30°.

   В треугольнике AMD, ∠AMD = 30°, ∠DAM = 30°. Следовательно, треугольник AMD — равнобедренный с AM = DM.

   Так как AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°. Это противоречит предыдущему выводу, что ∠AMD = 30°.

   Переформулируем условие: АМ — биссектриса угла А. AM ⊥ DM.

   Пусть ∠DAB = 60°. AM — биссектриса, ∠DAM = ∠MAB = 30°.

   AD || BC. ∠AMD = ∠MAB = 30° (накрест лежащие).

   В △AMD: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 30°. Это значит, что △AMD равнобедренный (AM = DM).

   Но в условии сказано, что AM ⊥ DM, то есть ∠AMD = 90°. Это противоречие.

   Давайте предположим, что биссектриса угла D, а не А.

   Пусть DM — биссектриса ∠ADC. ∠ADC = 60°. DM — биссектриса, ∠ADM = ∠MDC = 30°.

   AD || BC, значит ∠DMC = ∠ADM = 30° (накрест лежащие).

   В △DMC: ∠MDC = 30°, ∠DMC = 30°. Следовательно, △DMC равнобедренный (DM = MC).

   AB = 5. Так как ABCD — параллелограмм, то DC = AB = 5.

   MC = DC = 5.

   BC = BM + MC.

   Теперь используем условие AM ⊥ DM.

   В △ADM: ∠ADM = 30°. ∠DAM = ? ∠AMD = ?

   Рассмотрим △ADM. ∠ADM = 30°. AM ⊥ DM => ∠AMD = 90°.

   В △ADM: ∠DAM = 180° - 90° - 30° = 60°.

   Но ∠DAB = 60°. ∠DAM = 60°. Значит, точка M лежит на стороне AB. Но M лежит на BC. Это возможно только если M = B.

   Если M = B, то AB — биссектриса ∠DAB. Это возможно только если ∠DAB = 0, что не так.

   Давайте вернемся к исходному условию: AM — биссектриса ∠A. AM ⊥ DM.

   ∠DAB = 60°, AM — биссектриса => ∠DAM = ∠MAB = 30°.

   AD || BC => ∠AMD = ∠MAB = 30° (накрест лежащие).

   В △ADM: ∠MAD = 30°, ∠AMD = 30°. Следовательно, △ADM — равнобедренный (AM = DM).

   Условие AM ⊥ DM означает, что ∠AMD = 90°. Это противоречие.

   Предположим, что AM ⊥ BM, а не AM ⊥ DM.

   Если AM — биссектриса ∠DAB = 60°, то ∠DAM = ∠MAB = 30°.

   AD || BC, значит ∠AMD = ∠MAB = 30° (накрест лежащие).

   В △ABM: ∠MAB = 30°, ∠ABM = 180° - 60° = 120° (так как ∠ABC = 180° - ∠DAB = 180° - 60° = 120°).

   ∠AMB = 180° - 30° - 120° = 30°.

   Значит, △ABM равнобедренный (AB = BM).

   AB = 5, значит BM = 5.

   BC = BM + MC.

   Теперь условие AM ⊥ DM.

   В △ADM: ∠DAM = 30°. ∠AMD = 30°. AM = DM.

   Если AM ⊥ DM, то ∠AMD = 90°. Это противоречие.

   Есть ошибка в условии задачи. Предположим, что AM — биссектриса угла A, а BM — биссектриса угла B. И они перпендикулярны.

   Если AM — биссектриса ∠DAB = 60°, то ∠MAB = 30°.

   Если DM — биссектриса ∠ADC = 60°, то ∠ADM = 30°.

   Если AB = 5, то DC = 5.

   ∠ADC = 180° - 60° = 120°. DM — биссектриса, ∠ADM = 60°.

   Тогда ∠DAM = 30°, ∠ADM = 60°. В △ADM ∠AMD = 90°.

   Значит, DM — высота, и AM — биссектриса, DM ⊥ AM.

   В △ADM: ∠DAM = 30°, ∠ADM = 60°, ∠AMD = 90°.

   AM = AD * sin(60°) = AD * $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

   DM = AD * cos(60°) = AD * $$\frac{1}{2}$$.

   M лежит на BC.

   AD = BC.

   BM = ? MC = ?

   Из △ADM, где ∠AMD = 90°, ∠DAM = 30°, ∠ADM = 60°.

   Рассмотрим △ABM. ∠MAB = 30°. ∠ABM = 120°. ∠AMB = 30°.

   △ABM равнобедренный, AB = BM. AB = 5, значит BM = 5.

   BC = BM + MC. BC = AD.

   В △ADM, ∠ADM = 60°. ∠MAD = 30°. ∠AMD = 90°.

   DM = AD/2.

   M лежит на BC. ∠ADM = 60°.

   ∠ADC = 120°. DM — биссектриса ∠ADC. ∠ADM = 60°.

   ∠DAB = 60°. AM — биссектриса ∠DAB. ∠MAB = 30°.

   AM ⊥ DM. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.

   В △ADM, ∠ADM = 60°, ∠DAM = 30°, ∠AMD = 90°.

   AM = AD * sin(60°) = AD * $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.

   DM = AD * cos(60°) = AD / 2.

   M лежит на BC.

   В △ABM: ∠MAB = 30°. ∠ABM = 180° - 60° = 120°. ∠AMB = 180° - 30° - 120° = 30°.

   △ABM равнобедренный: AB = BM. AB = 5, значит BM = 5.

   BC = BM + MC.

   В △DMC: ∠MDC = ∠ADC - ∠ADM = 120° - 60° = 60°.

   ∠DCM = ∠ABC = 180° - 120° = 60°.

   ∠DMC = 180° - 60° - 60° = 60°.

   △DMC равносторонний. DC = MC = DM = 5.

   BC = BM + MC = 5 + 5 = 10.

   AD = BC = 10.

   Периметр = 2 * (AB + BC) = 2 * (5 + 10) = 2 * 15 = 30.

   Ответ: 30

4. 3.4. Из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Найдите расстояние между точками касания А и В, если ∠AOB = 60 градусов, МА = 7.

   Так как МА и МВ — касательные, то OA ⊥ MA и OB ⊥ MB. Треугольники ОМА и ОМВ — прямоугольные.

   В прямоугольных треугольниках ОМА и ОМВ: ОА = ОВ (радиусы), ОМ — общая гипотенуза, МА = МВ (как отрезки касательных, проведенных из одной точки).

   Следовательно, △OMA ≅ △OMB.

   ∠AOM = ∠BOM = ∠AOB / 2 = 60° / 2 = 30°.

   В △OMA: ∠OMA = 180° - 90° - 30° = 60°.

   В △OAM, ∠OAM = 90°, ∠AOM = 30°, MA = 7.

   Найдем OA (радиус) используя тангенс:

   \[ \text{tg}(\angle AOM) = \frac{MA}{OA} \]

   \[ \text{tg}(30^{\circ}) = \frac{7}{OA} \]

   \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7}{OA} \]

   \[ OA = 7\sqrt{3} \]

   Теперь найдем расстояние AB. △AOB — равнобедренный (OA = OB = 7√3) с углом ∠AOB = 60°. Это означает, что △AOB — равносторонний.

   Следовательно, AB = OA = OB = 7√3.

   Ответ: $$7\sqrt{3}$$