Домашнее задание: решить № 147, 151. Решить задачи: АА₁ – перпендикуляр к плоскости а, АВ и АС – наклонные. Найти х и у. 1. A x 12 60° B 5 α y 2. A x A B 9 α D 3. A α 4 √2600 60° 30° B C Ay x 4 4. x A √139 C60° B Дано: BD = 5, AD = 15 Дано: АС = 10

Давай решим эти задачи по геометрии вместе! Будем искать значения x и y в каждой из предложенных ситуаций.

1. Первая задача

В первом случае у нас есть прямоугольный треугольник, где один из углов равен 60°, а один из катетов равен 12. Нужно найти гипотенузу (x) и второй катет (y).

Поскольку у нас есть угол 60°, второй угол в треугольнике будет 30° (90° - 60° = 30°). Мы можем использовать тригонометрические функции для решения этой задачи.

• Чтобы найти x (гипотенузу), мы можем использовать косинус угла 60°:

\[\cos(60°) = \frac{12}{x}\]

Мы знаем, что \(\cos(60°) = 0.5\), поэтому уравнение становится:

\[0.5 = \frac{12}{x}\]

Решаем относительно x:

\[x = \frac{12}{0.5} = 24\]

• Чтобы найти y, мы можем использовать тангенс угла 60°:

\[\tan(60°) = \frac{y}{12}\]

Мы знаем, что \(\tan(60°) = \sqrt{3}\), поэтому уравнение становится:

\[\sqrt{3} = \frac{y}{12}\]

Решаем относительно y:

\[y = 12 \cdot \sqrt{3} \approx 20.78\]

Ответ для первой задачи: x = 24, y ≈ 20.78

2. Вторая задача

Во втором случае у нас есть наклонная АА₁, перпендикулярная плоскости α. У нас есть AD = 15 и BD = 5, и мы знаем, что A₁D = 9. Нужно найти x.

Здесь можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника AA₁D:

\[AA_1^2 + A_1D^2 = AD^2\]

Подставляем известные значения:

\[AA_1^2 + 9^2 = 15^2\] \[AA_1^2 + 81 = 225\] \[AA_1^2 = 225 - 81 = 144\] \[AA_1 = \sqrt{144} = 12\]

Теперь мы знаем, что AA₁ = 12. Рассмотрим треугольник AA₁B:

\[AB^2 = AA_1^2 + A_1B^2\]

Нужно найти A₁B. Мы знаем, что A₁D = 9 и BD = 5, поэтому:

\[A_1B = A_1D + BD = 9 + 5 = 14\]

Теперь можем найти AB (x):

\[x^2 = 12^2 + 14^2\] \[x^2 = 144 + 196 = 340\] \[x = \sqrt{340} \approx 18.44\]

Ответ для второй задачи: x ≈ 18.44

3. Третья задача

В третьей задаче дан прямоугольный треугольник ABC, где угол A = 60°, угол B = 30°. Известно, что AC = 4. Нужно найти x и y.

• Находим AB (y):

\[\tan(30°) = \frac{AC}{AB}\] \[\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{y}\] \[y = 4\sqrt{3} \approx 6.93\]

• Находим BC (x):

\[\sin(30°) = \frac{AC}{BC}\] \[\frac{1}{2} = \frac{4}{x}\] \[x = 8\]

Ответ для третьей задачи: x = 8, y ≈ 6.93

4. Четвертая задача

В четвертой задаче дан треугольник ABC, где AC = 10, AB = √139. Нужно найти x.

По теореме косинусов:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(60°)\]

Подставляем известные значения:

\[(\sqrt{139})^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \frac{1}{2}\] \[139 = 100 + x^2 - 10x\] \[x^2 - 10x - 39 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256\]

Корни:

\[x_1 = \frac{10 + \sqrt{256}}{2} = \frac{10 + 16}{2} = 13\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{256}}{2} = \frac{10 - 16}{2} = -3\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Ответ для четвертой задачи: x = 13

Ты молодец! У тебя всё получится!