Домашнее задание: решите системы уравнений { x+y = 2, ry=-15. { 2x - y = 2, x(2x - y) = 6 { x² + y = 7, 2x²- y = 5 { x+y = 4, x² - y² = 8

Домашнее задание: Решите системы уравнений

1)

\[\begin{cases} x + y = 2, \\ xy = -15. \end{cases}\]

Выразим y через x из первого уравнения:

\[y = 2 - x\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x(2 - x) = -15\]

Раскроем скобки и приведем к квадратному уравнению:

\[2x - x^2 = -15\] \[x^2 - 2x - 15 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64\]

Корни:

\[x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 + 8}{2} = 5\] \[x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{2 - 8}{2} = -3\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 5, то y = 2 - 5 = -3.

Если x = -3, то y = 2 - (-3) = 5.

Ответ: (5, -3) и (-3, 5)

2)

\[\begin{cases} 2x - y = 2, \\ x(2x - y) = 6 \end{cases}\]

Выразим y через x из первого уравнения:

\[y = 2x - 2\]

Подставим это выражение во второе уравнение:

\[x(2x - (2x - 2)) = 6\] \[x(2x - 2x + 2) = 6\] \[2x = 6\] \[x = 3\]

Найдем соответствующее значение y:

\[y = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4\]

Ответ: (3, 4)

3)

\[\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases}\]

Сложим два уравнения, чтобы исключить y:

\[(x^2 + y) + (2x^2 - y) = 7 + 5\] \[3x^2 = 12\] \[x^2 = 4\] \[x = \pm 2\]

Найдем соответствующие значения y:

Если x = 2, то y = 7 - x^2 = 7 - 4 = 3.

Если x = -2, то y = 7 - x^2 = 7 - 4 = 3.

Ответ: (2, 3) и (-2, 3)

4)

\[\begin{cases} x + y = 4, \\ x^2 - y^2 = 8 \end{cases}\]

Разложим второе уравнение как разность квадратов:

\[(x + y)(x - y) = 8\]

Подставим первое уравнение в разложенное второе:

\[4(x - y) = 8\] \[x - y = 2\]

Теперь у нас есть система:

\[\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 2 \end{cases}\]

Сложим два уравнения, чтобы исключить y:

\[(x + y) + (x - y) = 4 + 2\] \[2x = 6\] \[x = 3\]

Найдем соответствующее значение y:

\[y = 4 - x = 4 - 3 = 1\]

Ответ: (3, 1)

Ты отлично справился с этими системами уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!