Домашнее задание: 1. Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ - 17. Найдите другую сторону прямоугольника. 2. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. 3. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a)b = 20, ∠B = 45°; 6) b =10, ∠B= 60°; в) b =4√3, ∠B=30°.

• 1. Задача на применение теоремы Пифагора.
• 2. Задача на применение теоремы Пифагора.
• 3. Задачи на тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Решим задачи:

1. Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a = 15$$, а диагональ $$d = 17$$. Вторая сторона прямоугольника - $$b$$. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = d^2$$. Отсюда, $$b = \sqrt{d^2 - a^2}$$.

   Подставляем значения: $$b = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8$$.

   Другая сторона прямоугольника равна 8.

   Ответ: 8

2. Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна $$c = 20 \text{ дм}$$, а один из катетов равен $$a = 16 \text{ дм}$$. Второй катет - $$b$$. По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$. Отсюда, $$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$.

   Подставляем значения: $$b = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12 \text{ дм}$$.

   Второй катет равен 12 дм.

   Ответ: 12 дм

3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если:

   1. $$b = 20$$, $$\angle B = 45^\circ$$

   Пусть второй катет - а, гипотенуза - с.

   Тогда $$\tan B = \frac{b}{a}$$, следовательно $$a = \frac{b}{\tan B} = \frac{20}{\tan 45^\circ} = \frac{20}{1} = 20$$.

   Гипотенуза $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}$$.

   Ответ: Другой катет равен 20, гипотенуза равна $$20\sqrt{2}$$

   2. $$b = 10$$, $$\angle B = 60^\circ$$

   Пусть второй катет - а, гипотенуза - с.

   Тогда $$\tan B = \frac{b}{a}$$, следовательно $$a = \frac{b}{\tan B} = \frac{10}{\tan 60^\circ} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$.

   Гипотенуза $$c = \frac{b}{\sin B} = \frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.

   Ответ: Другой катет равен $$\frac{10\sqrt{3}}{3}$$, гипотенуза равна $$\frac{20\sqrt{3}}{3}$$

   3. $$b = 4\sqrt{3}$$, $$\angle B = 30^\circ$$

   Пусть второй катет - а, гипотенуза - с.

   Тогда $$\tan B = \frac{b}{a}$$, следовательно $$a = \frac{b}{\tan B} = \frac{4\sqrt{3}}{\tan 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$$.

   Гипотенуза $$c = \frac{b}{\sin B} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}$$.

   Ответ: Другой катет равен 12, гипотенуза равна $$8\sqrt{3}$$