Домашнее задание 2. Вычислите: а) \(\frac{55}{48} : (\frac{11}{16} + \frac{3}{32}) - \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7}\); б) \(6\frac{3}{50} - 3\frac{17}{75}\); в) \(5\frac{6}{55} + 3\frac{9}{44} - 4\frac{7}{22}\). 3. Студенту нужно решить 120 задач. Он решил \(\frac{1}{4}\) всех задач и \(\frac{2}{3}\) остатка. Сколько задач ему осталось решить? 4. До обеда магазин продал \(\frac{5}{9}\) всех тортов. После обеда он продал половину остатка да еще 12 тортов. Сколько тортов продано за день? 5. Укажите все дроби со знаменателем 13, большие \(\frac{1}{3}\), но меньшие \(\frac{2}{3}\).

2. Вычислите:

а) \(\frac{55}{48} : (\frac{11}{16} + \frac{3}{32}) - \frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} =\)

Сначала выполним сложение в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 16 и 32 - это 32. Значит, первую дробь домножаем на 2.

\(\frac{11}{16} + \frac{3}{32} = \frac{11 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{3}{32} = \frac{22}{32} + \frac{3}{32} = \frac{22 + 3}{32} = \frac{25}{32}\)

Теперь выполним деление:

\(\frac{55}{48} : \frac{25}{32} = \frac{55}{48} \cdot \frac{32}{25} = \frac{55 \cdot 32}{48 \cdot 25} = \frac{11 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 16}{3 \cdot 16 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{11 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{22}{15}\)

Выполним умножение:

\(\frac{14}{15} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{15 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 7 \cdot 5}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{2}{3}\)

Теперь вычитание:

\(\frac{22}{15} - \frac{2}{3} = \frac{22}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{22}{15} - \frac{10}{15} = \frac{22 - 10}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{4}{5}\)

б) \(6\frac{3}{50} - 3\frac{17}{75} = 6\frac{9}{150} - 3\frac{34}{150} =\) занимаем единицу: \(= 5\frac{159}{150} - 3\frac{34}{150} = (5-3) + (\frac{159}{150} - \frac{34}{150}) = 2 + \frac{125}{150} = 2 + \frac{5 \cdot 25}{6 \cdot 25} = 2 + \frac{5}{6} = 2\frac{5}{6}\)

в) \(5\frac{6}{55} + 3\frac{9}{44} - 4\frac{7}{22} =\) приводим к общему знаменателю 220: \(= 5\frac{24}{220} + 3\frac{45}{220} - 4\frac{70}{220} = (5 + 3 - 4) + (\frac{24}{220} + \frac{45}{220} - \frac{70}{220}) = 4 + \frac{24 + 45 - 70}{220} = 4 + \frac{-1}{220} = 3\frac{219}{220}\)

3. Студенту нужно решить 120 задач.

Он решил \(\frac{1}{4}\) всех задач:

\(120 \cdot \frac{1}{4} = 30\) задач

Осталось решить:

\(120 - 30 = 90\) задач

Потом он решил \(\frac{2}{3}\) остатка:

\(90 \cdot \frac{2}{3} = 60\) задач

Осталось решить:

\(90 - 60 = 30\) задач

4. До обеда магазин продал \(\frac{5}{9}\) всех тортов.

Пусть x - количество тортов всего.

До обеда продали \(\frac{5}{9}x\).

Осталось после обеда \(x - \frac{5}{9}x = \frac{9}{9}x - \frac{5}{9}x = \frac{4}{9}x\).

После обеда продали половину остатка и ещё 12 тортов. Значит, продали \(\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9}x + 12 = \frac{2}{9}x + 12\).

Всего продали \(\frac{5}{9}x + \frac{2}{9}x + 12 = \frac{7}{9}x + 12\).

Осталось тортов 0, значит, продали все торты. Таким образом, \(\frac{7}{9}x + 12 = x\), \(12 = x - \frac{7}{9}x = \frac{2}{9}x\), откуда \(x = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = 54\).

Значит, всего было 54 торта. Продали \(\frac{7}{9} \cdot 54 + 12 = 7 \cdot 6 + 12 = 42 + 12 = 54\) торта.

5. Укажите все дроби со знаменателем 13, большие \(\frac{1}{3}\), но меньшие \(\frac{2}{3}\).

Надо найти дроби \(\frac{x}{13}\), такие что \(\frac{1}{3} < \frac{x}{13} < \frac{2}{3}\).

Умножим все части неравенства на 39:

\(\frac{1}{3} \cdot 39 < \frac{x}{13} \cdot 39 < \frac{2}{3} \cdot 39\)

\(13 < 3x < 26\)

Разделим на 3:

\(\frac{13}{3} < x < \frac{26}{3}\)

\(4.333... < x < 8.666...\)

Таким образом, целые значения x, удовлетворяющие этому неравенству, равны 5, 6, 7, 8.

Значит, дроби: \(\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}\)

Ответ: \(\frac{4}{5}\); \(2\frac{5}{6}\); \(3\frac{219}{220}\); 30 задач; 54 торта; \(\frac{5}{13}, \frac{6}{13}, \frac{7}{13}, \frac{8}{13}\)