Домашнее задание: 1. Выполните сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел: z₁ = 3-2i; z2 = 5 + 3i. 2. Запишите в тригонометрической форме комплексные числа: z₁ =√3-i, z2=2-2√3i, z3=-1+i, 3. Решшите уравнение в комплексных числах: z2-4z+5=0. z²+2x+2=0.

Давай разберем это домашнее задание по комплексным числам.

1. Выполнение операций над комплексными числами

Даны числа z₁ = 3 - 2i и z₂ = 5 + 3i. Выполним сложение, вычитание, умножение и деление.

• Сложение: z₁ + z₂ = (3 - 2i) + (5 + 3i) = (3 + 5) + (-2 + 3)i = 8 + i
• Вычитание: z₁ - z₂ = (3 - 2i) - (5 + 3i) = (3 - 5) + (-2 - 3)i = -2 - 5i
• Умножение: z₁ * z₂ = (3 - 2i) * (5 + 3i) = 3*5 + 3*3i - 2i*5 - 2i*3i = 15 + 9i - 10i - 6i² = 15 - i + 6 = 21 - i
• Деление: z₁ / z₂ = (3 - 2i) / (5 + 3i). Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю: (5 - 3i). z₁ / z₂ = ((3 - 2i) * (5 - 3i)) / ((5 + 3i) * (5 - 3i)) = (15 - 9i - 10i + 6i²) / (25 - 15i + 15i - 9i²) = (15 - 19i - 6) / (25 + 9) = (9 - 19i) / 34 = 9/34 - (19/34)i

2. Тригонометрическая форма комплексных чисел

• z₁ = √3 - i
  1. Найдём модуль: |z₁| = √(√3² + (-1)²) = √(3 + 1) = √4 = 2
  2. Найдём аргумент: tan(φ) = -1 / √3, следовательно φ = -π/6 (или 11π/6)
  3. Тригонометрическая форма: z₁ = 2(cos(-π/6) + i sin(-π/6)) = 2(cos(11π/6) + i sin(11π/6))
• z₂ = 2 - 2√3i
  1. Найдём модуль: |z₂| = √(2² + (-2√3)²) = √(4 + 12) = √16 = 4
  2. Найдём аргумент: tan(φ) = -2√3 / 2 = -√3, следовательно φ = -π/3 (или 5π/3)
  3. Тригонометрическая форма: z₂ = 4(cos(-π/3) + i sin(-π/3)) = 4(cos(5π/3) + i sin(5π/3))
• z₃ = -1 + i
  1. Найдём модуль: |z₃| = √((-1)² + 1²) = √(1 + 1) = √2
  2. Найдём аргумент: tan(φ) = 1 / -1 = -1, следовательно φ = 3π/4
  3. Тригонометрическая форма: z₃ = √2(cos(3π/4) + i sin(3π/4))

3. Решение уравнений в комплексных числах

• z² - 4z + 5 = 0
  1. Дискриминант: D = (-4)² - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4
  2. z₁ = (4 + √(-4)) / 2 = (4 + 2i) / 2 = 2 + i
  3. z₂ = (4 - √(-4)) / 2 = (4 - 2i) / 2 = 2 - i
• z² + 2z + 2 = 0
  1. Дискриминант: D = 2² - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = -4
  2. z₁ = (-2 + √(-4)) / 2 = (-2 + 2i) / 2 = -1 + i
  3. z₂ = (-2 - √(-4)) / 2 = (-2 - 2i) / 2 = -1 - i

Ответ: Решения выше.