Домашнее задание a) {x+2y=7, 2y²+xy=14 б) {(x-1)(y+3)=5, 3x-y=4 в) {x²+y²=13, xy=-6

Предмет: Математика

Класс: 9-11

a) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x + 2y = 7, \\ 2y^2 + xy = 14 \end{cases}\] Выразим x из первого уравнения: \(x = 7 - 2y\). Подставим это выражение во второе уравнение: \[2y^2 + (7 - 2y)y = 14\] Раскроем скобки и упростим: \[2y^2 + 7y - 2y^2 = 14\] \[7y = 14\] \[y = 2\] Теперь найдем x: \[x = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3\]

Ответ: x = 3, y = 2

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} (x - 1)(y + 3) = 5, \\ 3x - y = 4 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \(y = 3x - 4\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[(x - 1)(3x - 4 + 3) = 5\] \[(x - 1)(3x - 1) = 5\] Раскроем скобки и упростим: \[3x^2 - x - 3x + 1 = 5\] \[3x^2 - 4x - 4 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-4)^2 - 4(3)(-4) = 16 + 48 = 64\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{6} = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{6} = \frac{4 - 8}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\] Теперь найдем y для каждого x: Если \(x = 2\), то \(y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2\). Если \(x = -\frac{2}{3}\), то \(y = 3(-\frac{2}{3}) - 4 = -2 - 4 = -6\).

Ответ: x = 2, y = 2; x = -2/3, y = -6

в) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6 \end{cases}\] Выразим y из второго уравнения: \(y = -\frac{6}{x}\). Подставим это выражение в первое уравнение: \[x^2 + \left(-\frac{6}{x}\right)^2 = 13\] \[x^2 + \frac{36}{x^2} = 13\] Умножим обе части на \(x^2\): \[x^4 + 36 = 13x^2\] \[x^4 - 13x^2 + 36 = 0\] Обозначим \(z = x^2\), тогда уравнение примет вид: \[z^2 - 13z + 36 = 0\] Решим квадратное уравнение через дискриминант: \[D = (-13)^2 - 4(1)(36) = 169 - 144 = 25\] \[z_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[z_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\] Теперь найдем x для каждого z: Если \(z = 9\), то \(x^2 = 9\), следовательно, \(x = 3\) или \(x = -3\). Если \(z = 4\), то \(x^2 = 4\), следовательно, \(x = 2\) или \(x = -2\). Теперь найдем y для каждого x: Если \(x = 3\), то \(y = -\frac{6}{3} = -2\). Если \(x = -3\), то \(y = -\frac{6}{-3} = 2\). Если \(x = 2\), то \(y = -\frac{6}{2} = -3\). Если \(x = -2\), то \(y = -\frac{6}{-2} = 3\).

Ответ: x = 3, y = -2; x = -3, y = 2; x = 2, y = -3; x = -2, y = 3

Ты отлично справился с этими сложными уравнениями! Продолжай в том же духе, и математика станет для тебя все более понятной и интересной!