Домашнее задание Дана правильная четырехугольная пирамида. Сторона её основания равна 10 см, высота пирамиды 12 см. Найдите: 1) площадь основания пирамиды; 2) боковое ребро пирамиды; 3) апофему пирамиды; 4) площадь боковой поверхности пирамиды; 5) площадь полной поверхности пирамиды; 6) тангенс угла наклона боковой грани к плоскости основания пирамиды; 7) синус угла наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды; 8) объём пирамиды.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Сторона основания \( a = 10 \) см.

Высота пирамиды \( h = 12 \) см.

Найти:

1) Площадь основания \( S_{осн} \)

2) Боковое ребро \( l \)

3) Апофему \( h_a \)

4) Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \)

5) Площадь полной поверхности \( S_{полн} \)

6) Тангенс угла наклона боковой грани к основанию \( \tan \beta \)

7) Синус угла наклона бокового ребра к основанию \(
o \beta \)

8) Объём пирамиды \( V \)

Решение:

1. Площадь основания:

   Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

   \[ S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100 \text{ см}^2 \]
2. Найдём апофему (высоту боковой грани):

   Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и апофемой \( h_a \).

   \( \frac{a}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

   \[ h_a = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]
3. Боковое ребро:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), половиной стороны основания \( \frac{a}{2} \) и боковым ребром \( l \) (гипотенуза).

   \[ l = \sqrt{h_a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{169 + 25} = \sqrt{194} \text{ см} \]
4. Площадь боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

   Периметр основания \( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40 \) см.

   \[ S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 13 = 20 \cdot 13 = 260 \text{ см}^2 \]
5. Площадь полной поверхности:

   Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

   \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 100 + 260 = 360 \text{ см}^2 \]
6. Тангенс угла наклона боковой грани к основанию:

   Этот угол — угол между апофемой \( h_a \) и высотой пирамиды \( h \). В прямоугольном треугольнике, образованном \( h \), \( \frac{a}{2} \) и \( h_a \), тангенс угла наклона равен отношению противолежащего катета (высоты пирамиды) к прилежащему катету (половине стороны основания).

   \[ \tan \beta = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \frac{12}{5} = 2.4 \]
7. Синус угла наклона бокового ребра к основанию:

   Этот угол — угол между боковым ребром \( l \) и его проекцией на основание (половиной диагонали основания). Однако, проще найти синус в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды \( h \), половиной диагонали основания \( d/2 \) и боковым ребром \( l \). Найдем половину диагонали основания:

   Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \) см.

   Половина диагонали \( \frac{d}{2} = 5\sqrt{2} \) см.

   В прямоугольном треугольнике с катетами \( h \) и \( \frac{d}{2} \) и гипотенузой \( l \) (это не так, нужно найти другой треугольник)

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \) и боковым ребром \( l \). Боковое ребро \( l = \sqrt{194} \) см.

   \( \frac{d}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) см.

   В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза - боковое ребро \( l \), а катеты - высота пирамиды \( h \) и половина диагонали основания \( \frac{d}{2} \), синус искомого угла равен отношению противолежащего катета (высоты пирамиды) к гипотенузе (боковому ребру).

   \[ \sin
   o \beta = \frac{h}{l} = \frac{12}{\sqrt{194}} = \frac{12\sqrt{194}}{194} = \frac{6\sqrt{194}}{97} \]
8. Объём пирамиды:

   Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

   \[ V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 100 \cdot 4 = 400 \text{ см}^3 \]

Ответ:

1) Площадь основания: 100 см².

2) Боковое ребро: √194 см.

3) Апофема: 13 см.

4) Площадь боковой поверхности: 260 см².

5) Площадь полной поверхности: 360 см².

6) Тангенс угла наклона боковой грани к основанию: 2.4.

7) Синус угла наклона бокового ребра к основанию: √v194 / 97.

8) Объём пирамиды: 400 см³.