Домашнее задание Найдите острый угол, образованный двумя секущими, про- ведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°. Хорды АВ и СД окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если AD = 54°, BC = 70°. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В - точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D - точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если BD = 110°20'.

Ответ: 44°, 62°, 34°50'

Решение:

1. Первая задача:

   Угол между секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности заключенных дуг. Обозначим угол между секущими как \[\alpha\[.

   \[\alpha = \frac{140^\circ - 52^\circ}{2} = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ\]

   Ответ: 44°

2. Вторая задача:

   Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, заключенных между этими хордами и их продолжениями. Обозначим угол \(\angle BEC\) как \(\beta\).

   \[\beta = \frac{54^\circ + 70^\circ}{2} = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ\]

   Ответ: 62°

3. Третья задача:

   Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной между ними. Обозначим \(\angle BAD\) как \(\gamma\).

   \[\gamma = \frac{110^\circ 20'}{2} = 55^\circ 10'\]

   Так как AD проходит через центр, то BD - хорда, опирающаяся на дугу в 110°20'. Тогда \(\angle ABD\) является вписанным углом, опирающимся на диаметр, следовательно, он равен 90°.

   Угол \(\angle ADB\) можно найти из прямоугольного треугольника ABD:

   \[\angle ADB = 90^\circ - \angle BAD = 90^\circ - 55^\circ 10' = 34^\circ 50'\]

   Ответ: ∠BAD = 55°10', ∠ADB = 34°50'

Ответ: 44°, 62°, 34°50'