Домашнее задание: Постройте график функции у=2х²+4х-6, опишите его свойства

Задание:

Построить график функции $$y = 2x^2 + 4x - 6$$ и описать его свойства.

Решение:

1. Построение графика:

   Функция $$y = 2x^2 + 4x - 6$$ является квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола. Чтобы построить параболу, необходимо найти вершину параболы, ось симметрии, нули функции и несколько дополнительных точек.

   • Найдём вершину параболы:

     Координата x вершины параболы находится по формуле: $$x_v = -\frac{b}{2a}$$, где a и b — коэффициенты квадратного уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$.

     В нашем случае $$a = 2$$ и $$b = 4$$, следовательно,

     $$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$$

     Чтобы найти координату y вершины, подставим $$x_v$$ в уравнение функции:

     $$y_v = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$$

     Таким образом, вершина параболы находится в точке $$(-1, -8)$$.

   • Найдём ось симметрии:

     Ось симметрии — это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. В нашем случае ось симметрии — это линия $$x = -1$$.

   • Найдём нули функции:

     Нули функции — это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение $$2x^2 + 4x - 6 = 0$$.

     Разделим уравнение на 2: $$x^2 + 2x - 3 = 0$$

     Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

     $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$

     $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

     Таким образом, нули функции находятся в точках $$(1, 0)$$ и $$(-3, 0)$$.

   • Найдём дополнительные точки:

     Чтобы построить график более точно, найдём ещё несколько точек. Например, при x = 0, y = -6, то есть точка $$(0, -6)$$.

     Поскольку парабола симметрична относительно оси x = -1, то точка, симметричная (0, -6), будет (-2, -6).

2. Описание свойств функции:
   • Область определения: Все действительные числа ($$x \in \mathbb{R}$$).
   • Область значений: Все действительные числа, больше или равные -8 ($$y \geq -8$$).
   • Нули функции: x = 1 и x = -3.
   • Вершина параболы: (-1, -8).
   • Ось симметрии: x = -1.
   • Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на интервале $$(-\infty, -1]$$ и возрастает на интервале $$[-1, +\infty)$$.
   • Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: График функции построен, свойства описаны.