Домашнее задание Повторить алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. Решить уравнения: 5 3 20 – – = – x-2 x+2 x²-4 x 5 18 – – = – x-3 x+3 x²-9

Решим данные уравнения.

1. $$\frac{5}{x-2} - \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}$$
   ОДЗ: $$x
   e 2$$; $$x
   e -2$$.
   Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{5(x+2) - 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{20}{x^2-4}$$.
   Так как $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$, получаем:
   $$\frac{5x+10 - 3x+6}{x^2-4} = \frac{20}{x^2-4}$$
   $$5x+10-3x+6 = 20$$
   $$2x + 16 = 20$$
   $$2x = 4$$
   $$x = 2$$.
   Но $$x=2$$ не входит в ОДЗ, следовательно, уравнение не имеет корней.
   Ответ: нет решений.
2. $$\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$$
   ОДЗ: $$x
   e 3$$; $$x
   e -3$$.
   Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{x(x+3) - 5(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{18}{x^2-9}$$.
   Так как $$x^2-9 = (x-3)(x+3)$$, получаем:
   $$\frac{x^2+3x - 5x+15}{x^2-9} = \frac{18}{x^2-9}$$
   $$x^2+3x - 5x+15 = 18$$
   $$x^2 - 2x + 15 - 18 = 0$$
   $$x^2 - 2x - 3 = 0$$
   Решим квадратное уравнение через дискриминант:
   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$
   $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
   $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
   $$x_1 = 3$$ не входит в ОДЗ, следовательно, корнем уравнения является только $$x_2 = -1$$.
   Ответ: $$-1$$.