Домашнее задание. Придумать задачу, имеющую связь с областью знаний биология и решаемую путем составления математической модели.

Домашнее задание.

Предмет: Биология и Математика

Класс: 9-11 (зависит от сложности выбранной темы)

Тип задания: Творческое задание, требующее синтеза знаний из разных областей и применения математического моделирования для решения биологической задачи.

Пример задачи:

Описание: В пруду обитает популяция рыб. Необходимо построить математическую модель, описывающую изменение численности популяции рыб в зависимости от различных факторов: рождаемости, смертности, миграции, доступности пищи и наличия хищников.

Этапы решения:

1. Определение переменных:
   • N(t) – численность популяции рыб в момент времени t
   • b – коэффициент рождаемости (количество рожденных рыб на одну рыбу в единицу времени)
   • d – коэффициент смертности (вероятность гибели рыбы в единицу времени)
   • m – коэффициент миграции (количество рыб, прибывающих или покидающих пруд в единицу времени)
   • K – емкость среды (максимальная численность популяции, которую может поддерживать пруд)
   • p – коэффициент, отражающий влияние хищников
2. Построение модели:

   Простейшая модель изменения численности популяции может быть представлена дифференциальным уравнением:

   \[\frac{dN}{dt} = bN - dN + m - pN\]

   Более сложная модель, учитывающая конкуренцию за ресурсы, может быть представлена логистическим уравнением:

   \[\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - pN\]

   где r = b - d – удельная скорость роста популяции.

3. Анализ модели:

   Анализ построенной модели может включать:

   • Нахождение стационарных состояний (равновесных точек), когда численность популяции не изменяется.
   • Исследование устойчивости этих состояний.
   • Численное моделирование для различных значений параметров.
4. Интерпретация результатов:

   Интерпретация результатов математической модели позволяет сделать выводы о динамике популяции рыб, ее устойчивости к изменениям внешних условий и эффективности различных мер управления (например, регулирования вылова или борьбы с хищниками).

Варианты усложнения задачи:

• Учет возраста рыб и разбиение популяции на возрастные группы.
• Учет сезонных изменений параметров (например, рождаемости и смертности).
• Введение дополнительных факторов, таких как загрязнение воды или изменение климата.

Пример 2:

Разработать математическую модель распространения инфекционного заболевания в популяции животных, учитывая параметры восприимчивости, заразности и скорости выздоровления.

Пример 3:

Создать математическую модель, описывающую рост популяции бактерий в питательной среде в зависимости от температуры и концентрации питательных веществ.

Ответ: Творческое задание выполнено. Приведены примеры задач на составление математической модели в биологии.