Домашнее задание Социологическом исследовании случайным образом выбираютспондента для опроса из класса, в котором 12 юношей и 15 девушек. Известно, что из них 4 юноши и 6 девушек учатся на отлично по математике. Пусть событие А означает, что выбран юноша, событие В означает, что выбранный учащийся – отличник, событие С – выбрана девушка-отличница. Сформулируйте словами события A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C. Найдите вероятности событий A, B,C и их пересечений A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C. Сформулируйте словами события A U B, A U C, B U C. Найдите вероятности событий A, B,C и их объединений A U B, A U C, B U C. Монету подбрасывают три раза. Рассмотрим случайные события A = {выпал ровно один орёл}, B = {в первый раз выпал орёл}, C = {выпало не менее двух орлов}. Сформулируйте события A U B, A ∩ C, B U C и найдите их вероятности.

Решение:

Часть 1: Выбор учащегося

Дано:

• Общее количество учащихся: 12 юношей + 15 девушек = 27
• Отличники: 4 юноши + 6 девушек = 10
• Событие A: выбран юноша
• Событие B: выбранный учащийся - отличник
• Событие C: выбрана девушка-отличница

1. Формулировка и вероятность пересечений:

• A ∩ B: Выбран юноша и он отличник.
• A ∩ C: Выбран юноша и выбрана девушка-отличница (это событие невозможно, так как один человек не может быть одновременно юношей и девушкой).
• B ∩ C: Выбранный учащийся - отличник и это девушка-отличница (т.е. выбрана девушка-отличница).

Вероятности:

• P(A) (вероятность выбрать юношу) = 12 / 27 = 4/9
• P(B) (вероятность выбрать отличника) = 10 / 27
• P(C) (вероятность выбрать девушку-отличницу) = 6 / 27 = 2/9
• P(A ∩ B) (вероятность выбрать юношу-отличника) = 4 / 27
• P(A ∩ C) = 0 (невозможное событие)
• P(B ∩ C) (вероятность выбрать девушку-отличницу, которая является отличником) = 6 / 27 = 2/9 (так как событие C является подмножеством B, B ∩ C = C)

2. Формулировка и вероятность объединений:

• A U B: Выбран юноша или выбранный учащийся - отличник (или и то, и другое).
• A U C: Выбран юноша или выбрана девушка-отличница.
• B U C: Выбранный учащийся - отличник или выбрана девушка-отличница (так как C является подмножеством B, B U C = B).

Вероятности:

• P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 12/27 + 10/27 - 4/27 = 18/27 = 2/3
• P(A U C) = P(A) + P(C) - P(A ∩ C) = 12/27 + 6/27 - 0 = 18/27 = 2/3
• P(B U C) = P(B) = 10/27

Часть 2: Подбрасывание монеты

Дано:

• Монета подбрасывается три раза.
• Событие A: выпал ровно один орёл.
• Событие B: в первый раз выпал орёл.
• Событие C: выпало не менее двух орлов.

Возможные исходы (3 подбрасывания):

• ООО, ООP, ОPO, POO, OPP, POP, PPO, PPP (всего 2³ = 8 исходов)

1. Формулировка событий:

• A U B: Выпал ровно один орёл ИЛИ в первый раз выпал орёл.
• A ∩ C: Выпал ровно один орёл И И выпало не менее двух орлов (это событие невозможно).
• B U C: В первый раз выпал орёл ИЛИ выпало не менее двух орлов.

2. Определение исходов для каждого события:

• A = {POO, OPP, POP}
• B = {OOO, OOP, OPO, OPP}
• C = {OOO, OOP, OPO}

3. Определение исходов для заданных комбинаций:

• A U B = {POO, OPP, POP, OOO, OOP} (объединяем исходы A и B, исключая дубликаты)
• A ∩ C = {} (нет общих исходов, невозможное событие)
• B U C = {OOO, OOP, OPO, OPP} (объединяем исходы B и C, так как C является подмножеством B, B U C = B)

4. Вероятности:

• P(A U B) = Количество исходов в A U B / Общее количество исходов = 5 / 8
• P(A ∩ C) = 0 (невозможное событие)
• P(B U C) = Количество исходов в B U C / Общее количество исходов = 4 / 8 = 1/2

Финальный ответ:

• Часть 1:
• P(A ∩ B) = 4/27, P(A ∩ C) = 0, P(B ∩ C) = 2/9.
• P(A U B) = 2/3, P(A U C) = 2/3, P(B U C) = 10/27.
• Часть 2:
• P(A U B) = 5/8, P(A ∩ C) = 0, P(B U C) = 1/2.