Домашнее задание В треугольник АВС вписана окружность. 1) ∠ABC = 58°, ∠CAB = 64°. Найдите ∠COB, ZAOB, ZAOC. 2) AH = 3 см, ВМ = 6 см, СК = 7 см. Найдите периметр треугольника АВС. •

Решение:

1) Найдем углы ∠COB, ∠AOB, ∠AOC:

• Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠ACB = 180° - ∠ABC - ∠CAB = 180° - 58° - 64° = 58°.
• Точка O - центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO - биссектрисы углов ∠ABC и ∠ACB соответственно.
• ∠OBC = ∠ABC / 2 = 58° / 2 = 29° и ∠OCB = ∠ACB / 2 = 58° / 2 = 29°.
• В треугольнике COB угол ∠COB = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 29° - 29° = 122°.
• Аналогично, AO - биссектриса угла ∠CAB, поэтому ∠OAB = ∠CAB / 2 = 64° / 2 = 32°.
• В треугольнике AOB угол ∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 180° - 32° - 29° = 119°.
• ∠OAC = ∠CAB / 2 = 64° / 2 = 32°, ∠OCA = ∠ACB / 2 = 58° / 2 = 29°.
• В треугольнике AOC угол ∠AOC = 180° - ∠OAC - ∠OCA = 180° - 32° - 29° = 119°.

2) Найдем периметр треугольника ABC:

• Пусть AH = 3 см, BM = 6 см, CK = 7 см. Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника как H, M, K соответственно.
• По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: AH = AM, BM = BK, CK = CH.
• Тогда AM = AH = 3 см, BK = BM = 6 см, CH = CK = 7 см.
• Стороны треугольника равны: AB = AM + MB = 3 + 6 = 9 см, BC = BK + KC = 6 + 7 = 13 см, AC = AH + HC = 3 + 7 = 10 см.
• Периметр треугольника ABC равен: P = AB + BC + AC = 9 + 13 + 10 = 32 см.