Домашняя работа №1. Прямоугольный треугольник вписан в окружность радиуса 6,5см. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен 5см. №2. Четырехугольник MNKP вписан в окружность диаметра MK. Найдите углы четырехугольника, если ∬ NK=140°, ∬ PK=100° №3. Вершины △ABC лежат на окружности с центром О, ∬ A=60°, ∬ AOB:∬ AOC=3:5. Найдите неизвестные углы △ABC.

Решение:

• №1. Площадь прямоугольного треугольника
  • \[R = 6,5\text{ см}\]
  • \[a = 5\text{ см}\]
  • Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: \[\(D = 2R = 2 \times 6,5 = 13\text{ см}\]\).
  • Диаметр, описанный около прямоугольного треугольника, является его гипотенузой. Следовательно, гипотенуза \(c = 13\text{ см}\).
  • Найдем второй катет \(b\) по теореме Пифагора: \[\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ см}\]\).
  • Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[\[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\text{ см}^2\]\).
• №2. Углы вписанного четырехугольника
  • Так как четырехугольник MNKP вписан в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
  • \[\angle M + \angle K = 180^°\]
  • \[\angle N + \angle P = 180^°\]
  • Угол MK является диаметром, следовательно, опирается на полуокружность. Углы, опирающиеся на диаметр, равны 90°.
  • \[\angle MNK = 90^°\]
  • \[\angle MPK = 90^°\]
  • В четырехугольнике MNKP:
  • \[\angle NK = 140^°\]
  • \[\angle PK = 100^°\]
  • \[\angle MNK = 180^° - 140^° = 40^°\]
  • \[\angle NMP = 180^° - 100^° = 80^°\]
  • Проверим: \[\[40^° + 140^° = 180^°\]\), \[\[80^° + 100^° = 180^°\]\).
  • Углы четырехугольника: ∬ N = 140°, ∬ P = 100°, ∬ M = 40°, ∬ K = 80°.
• №3. Углы треугольника ABC
  • \[\angle A = 60^°\]
  • \[\angle AOB : \angle AOC = 3:5\]
  • Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
  • \[\angle AOB = 2 \angle C\]
  • \[\angle AOC = 2 \angle B\]
  • Пусть \(∬ AOB = 3x\) и \(∬ AOC = 5x\).
  • В треугольнике ABC: \[\[\angle A + \angle B + \angle C = 180^°\]\)
  • \[60^° + \angle B + \angle C = 180^°\]
  • \[\angle B + \angle C = 120^°\]
  • Подставляем: \[\[\frac{1}{2}\angle AOC + \frac{1}{2}\angle AOB = 120^°\]\)
  • \[\frac{1}{2}(5x) + \frac{1}{2}(3x) = 120^°\]
  • \[2.5x + 1.5x = 120^°\]
  • \[4x = 120^°\]
  • \[x = 30^°\]
  • Тогда:
  • \[\angle AOB = 3x = 3 \times 30^° = 90^°\]
  • \[\angle AOC = 5x = 5 \times 30^° = 150^°\]
  • Находим углы B и C:
  • \[\angle C = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} \times 90^° = 45^°\]
  • \[\angle B = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} \times 150^° = 75^°\]
  • Проверка: \[\[60^° + 75^° + 45^° = 180^°\]\).

Ответ: 1. 30 см². 2. ∬ M = 40°, ∬ K = 80°. 3. ∬ B = 75°, ∬ C = 45°.