Домашняя работа №316 Дано: \(\triangle\) ABC, \(\angle\) C = 90^°. CD — высота. Доказать: \(\triangle\) CAD \(\sim\) \(\triangle\) BCD. (Diagram shows a right-angled triangle ABC with altitude CD drawn to the hypotenuse AB. Points are labeled A, B, C, D, H.)

Решение:

Дано: \( \triangle ABC, \angle C = 90^° \). \( CD \) — высота.

Доказать: \( \triangle CAD \sim \triangle BCD \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Так как \( \angle C = 90^° \) и \( CD \) — высота, то \( CD \perp AB \).
2. В \( \triangle CAD \) и \( \triangle BCD \):
• \( \angle CDA = \angle CDB = 90^° \) (по определению высоты).
• \( \angle CAD = \angle BCD \) (углы, дополняющие \( \angle A \) до 90° в \( \triangle ACD \) и \( \triangle BCD \) соответственно, или как острые углы прямоугольного \( \triangle ABC \) и \( \triangle ACD \) / \( \triangle BCD \)).
3. Следовательно, \( \triangle CAD \sim \triangle BCD \) по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Что и требовалось доказать.