Домашняя работа 1. Докажите неравенство (b-1)² > b(b-2). 2. Известно, что 7 <а < 11, 8 < b < 12. Оцените значение выражения: 1) 10a + b; 2) ab; 3) a-b. 3. Решите неравенство: 1)-11x165; 2) 9 + 2x > 13-2x. 4. Решите систему неравенств: 1) 10x-22<0,2) 10x+17>37, 9x+18>0; 5. Найдите множество решений неравенства: 1) 8x x+10+x-7>0; 5 10 15 2) 9x + 182(4x-9) + x.

1. Докажите неравенство \[(b-1)^2 > b(b-2).\]

Разбираемся:

• Раскрываем скобки: \[b^2 - 2b + 1 > b^2 - 2b\]
• Упрощаем неравенство: \[1 > 0\]

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

2. Известно, что \[7 < a < 11, 8 < b < 12.\] Оцените значение выражения:

Разбираемся:

1) \(10a + b\)

• Умножаем неравенство для \(a\) на 10: \[70 < 10a < 110\]
• Складываем полученное неравенство с неравенством для \(b\): \[70 + 8 < 10a + b < 110 + 12\]
• Упрощаем: \[78 < 10a + b < 122\]

2) \(ab\)

• Перемножаем неравенства для \(a\) и \(b\): \[7 \cdot 8 < ab < 11 \cdot 12\]
• Упрощаем: \[56 < ab < 132\]

3) \(a - b\)

• Умножаем неравенство для \(b\) на -1: \[-12 < -b < -8\]
• Складываем полученное неравенство с неравенством для \(a\): \[7 - 12 < a - b < 11 - 8\]
• Упрощаем: \[-5 < a - b < 3\]

3. Решите неравенство:

1) \[-11x < 165\]

• Делим обе части на -11 (знак меняется): \[x > -15\]

2) \[9 + 2x > 13 - 2x\]

• Переносим слагаемые: \[2x + 2x > 13 - 9\]
• Упрощаем: \[4x > 4\]
• Делим обе части на 4: \[x > 1\]

4. Решите систему неравенств:

1)

\[\begin{cases} 10x - 22 < 0 \\ 9x + 18 > 0 \end{cases}\]

• Решаем первое неравенство: \[10x < 22 \Rightarrow x < 2.2\]
• Решаем второе неравенство: \[9x > -18 \Rightarrow x > -2\]
• Объединяем решения: \[-2 < x < 2.2\]

2)

\[\begin{cases} 10x + 17 > 37 \\ 11 - 9x < 23 \end{cases}\]

• Решаем первое неравенство: \[10x > 20 \Rightarrow x > 2\]
• Решаем второе неравенство: \[-9x < 12 \Rightarrow x > -\frac{4}{3}\]
• Объединяем решения: \[x > 2\]

5. Найдите множество решений неравенства:

1) \[\frac{8x}{5} - \frac{x+10}{10} + \frac{x-7}{15} \ge 0\]

• Приводим к общему знаменателю (30): \[\frac{48x - 3(x+10) + 2(x-7)}{30} \ge 0\]
• Упрощаем: \[48x - 3x - 30 + 2x - 14 \ge 0\]
• Приводим подобные: \[47x \ge 44\]
• Делим обе части на 47: \[x \ge \frac{44}{47}\]

2) \[9x + 18 > 2(4x - 9) + x\]

• Раскрываем скобки: \[9x + 18 > 8x - 18 + x\]
• Упрощаем: \[9x + 18 > 9x - 18\]
• Сокращаем подобные: \[18 > -18\]

Неравенство верно для всех \(x\).