Домашняя работа. Окружность. Урок2 1. ★☆☆ В окружность радиуса 1 вписа- ли равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр. (» рис.) 2. ★☆☆ Из точки окружности провели две хорды длины 2 см, угол между которыми равен 120°. Найдите диа- метр этой окружности. 3. ★☆☆ В окружность вписали равнобе- дренный треугольник с тупым углом. Найдите острый угол этого треуголь- ника, если его основание равно ради- усу окружности.

Задание 1

В окружность радиуса 1 вписан равносторонний шестиугольник. Найдите его периметр.

1. Шаг 1: Определяем сторону шестиугольника. Так как шестиугольник равносторонний и вписан в окружность, его сторона равна радиусу окружности.
2. Шаг 2: Сторона шестиугольника равна радиусу окружности, то есть 1.
3. Шаг 3: Периметр шестиугольника равен сумме длин всех его сторон. Поскольку все стороны равны, периметр равен 6 умноженным на длину одной стороны.

Периметр = 6 * 1 = 6

Ответ: 6

Задание 2

Из точки окружности провели две хорды длины 2 см, угол между которыми равен 120°. Найдите диаметр этой окружности.

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольник, образованный двумя хордами и соединяющей их линией.
2. Шаг 2: Так как угол между хордами равен 120°, угол, опирающийся на этот угол, будет в два раза больше, то есть 240°. Но так как полный угол равен 360°, то центральный угол, опирающийся на хорду, равен 360° - 240° = 120°.
3. Шаг 3: Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Угол при вершине равен 120°, значит, углы при основании равны (180° - 120°) / 2 = 30°.
4. Шаг 4: Используем теорему синусов: \[\frac{a}{\sin A} = 2R\] где a - длина хорды, A - угол, опирающийся на эту хорду, R - радиус окружности.
5. Шаг 5: \[\frac{2}{\sin 120^\circ} = 2R\] \[\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R\] \[ 2R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

Диаметр равен \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Ответ: \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

Задание 3

В окружность вписали равнобедренный треугольник с тупым углом. Найдите острый угол этого треугольника, если его основание равно радиусу окружности.

1. Шаг 1: Пусть ABC — равнобедренный треугольник, вписанный в окружность, где AB = BC, а AC — основание, равное радиусу окружности (r).
2. Шаг 2: Обозначим острый угол BAC как x. Тогда угол BCA также равен x, так как треугольник равнобедренный.
3. Шаг 3: Так как угол ABC тупой, то он больше 90°. Обозначим угол ABC как y.
4. Шаг 4: Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому 2x + y = 180°.
5. Шаг 5: Рассмотрим центральный угол, опирающийся на основание AC. Так как AC = r, треугольник AOC равносторонний (AO = OC = r). Следовательно, угол AOC = 60°.
6. Шаг 6: Вписанный угол ABC равен половине центрального угла AOC, то есть y = 60° / 2 = 30°. Но это неверно, так как угол ABC тупой. Значит, центральный угол, опирающийся на хорду AC, равен 360 - 60 = 300.
7. Шаг 7: Вписанный угол, опирающийся на хорду AC равен половине центрального угла, то есть y = 300/2 = 150.
8. Шаг 8: Тогда 2x + 150 = 180, откуда 2x = 30, и x = 15°.

Ответ: 15°