Домашняя работа по теме «формула Герона» B B 14 13 10 8 B 9 C 11 H A 12 D A D 15 C Рис. 410 Рис. 411 Рис. 412 1. Рис. 410. Найти: ЅАВС- 2. Рис. 411. Найти: SABCD- 3. Рис. 412. Найти: SABCD. CT

1. Рис. 410. Найти: S_ABC

Для треугольника со сторонами 14, 13 и 15:

• Полупериметр \[p = \frac{14 + 13 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]
• Площадь по формуле Герона: \[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-13)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4} = 7 \cdot 3 \cdot 2^2 = 7 \cdot 3 \cdot 4 = 84\]

Ответ: S_ABC = 84

2. Рис. 411. Найти: S_ABCD

Для четырехугольника, который можно разбить на два треугольника со сторонами 10, 14, 8:

• Рассмотрим треугольник ABD со сторонами 10 и 14. Пусть третья сторона равна 8.
• Полупериметр \[p = \frac{10 + 14 + 8}{2} = \frac{32}{2} = 16\]
• Площадь по формуле Герона: \[S_{ABD} = \sqrt{16(16-10)(16-14)(16-8)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 8} = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2^3} = \sqrt{2^9 \cdot 3} = 2^4 \sqrt{2 \cdot 3} = 16\sqrt{6}\]
• Рассмотрим треугольник BCD со сторонами 8 и 14. Пусть третья сторона равна 14.
• Полупериметр \[p = \frac{8 + 14 + 14}{2} = \frac{36}{2} = 18\]
• Площадь по формуле Герона: \[S_{BCD} = \sqrt{18(18-8)(18-14)(18-14)} = \sqrt{18 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 4} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 2^2} = \sqrt{2^6 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2^3 \cdot 3 \sqrt{5} = 8 \cdot 3 \sqrt{5} = 24\sqrt{5}\]
• Площадь четырехугольника ABCD = S_ABD + S_BCD = 16\sqrt{6} + 24\sqrt{5}

Ответ: S_ABCD = 16\sqrt{6} + 24\sqrt{5}

3. Рис. 412. Найти: S_ABCD

Для трапеции со сторонами 7, 9, 11 и 12:

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

• S = (BC + AD) / 2 * BH, где BH - высота трапеции
• BH = 7, BC = 9, AD = 12
• S = (9 + 12) / 2 * 7 = 21 / 2 * 7 = 10.5 * 7 = 73.5

Ответ: S_ABCD = 73.5