Домашняя работа 1) Решите уравнение 54x+45 = -X 2) Pereштe неравенство 56x + 7 <X 3) Упростите x +9 15x + 3 105x-3 105x + 3 + 4 55x-9 5 8 √x -9

1) Решим уравнение

$$ \sqrt{4x+45} = -x $$

ОДЗ: $$4x+45 \geq 0$$, $$x \leq 0$$

$$4x \geq -45$$

$$x \geq -\frac{45}{4} = -11,25$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$4x+45 = x^2$$

$$x^2 - 4x - 45 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196$$

$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ:

$$x_1 = 9$$ не удовлетворяет условию $$x \leq 0$$

$$x_2 = -5$$ удовлетворяет условию $$x \leq 0$$ и $$x \geq -11,25$$

Ответ: $$x=-5$$

---

2) Решим неравенство

$$\sqrt{6x+7} < x$$

ОДЗ: $$6x+7 \geq 0$$, $$x>0$$

$$6x \geq -7$$

$$x \geq -\frac{7}{6}$$

Так как по ОДЗ х>0, то ОДЗ: $$x>0$$

Возведём обе части неравенства в квадрат, так как обе части неравенства неотрицательные:

$$6x+7 < x^2$$

$$x^2 - 6x - 7 > 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Найдём решение неравенства методом интервалов.

___-1____7_____+∞

Решением неравенства являются интервалы: $$(-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$$

Учитывая ОДЗ: $$x>0$$, получим решение: $$(7; +\infty)$$

Ответ: $$(7; +\infty)$$

---

3) Упростите выражение:

$$(\frac{\sqrt[10]{x}+3}{\sqrt[10]{x}-3} - \frac{\sqrt[10]{x}+9}{\sqrt[10]{x}+3} + \frac{4}{\sqrt[5]{x}-9}) : \frac{8}{\sqrt[5]{x}-9}$$

Пусть $$y = \sqrt[10]{x}$$, тогда $$\sqrt[5]{x} = y^2$$

Тогда выражение примет вид:

$$(\frac{y+3}{y-3} - \frac{y+9}{y+3} + \frac{4}{y^2-9}) : \frac{8}{y^2-9}$$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю: $$y^2-9 = (y-3)(y+3)$$

$$(\frac{(y+3)(y+3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{(y+9)(y-3)}{(y+3)(y-3)} + \frac{4}{(y^2-9)}) : \frac{8}{y^2-9}$$

$$(\frac{y^2+6y+9 - (y^2+6y-27) + 4}{y^2-9}) : \frac{8}{y^2-9}$$

$$(\frac{y^2+6y+9 - y^2 - 6y + 27 + 4}{y^2-9}) : \frac{8}{y^2-9}$$

$$\frac{40}{y^2-9} : \frac{8}{y^2-9} = \frac{40}{y^2-9} \cdot \frac{y^2-9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$

Ответ: 5