ДОМАШНЯЯ РАБОТА 1. Сумма двух из восьми углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 72°. Найдите каждый из восьми углов. 2. Секущая пересекает две данные прямые; при этом образовались внутренние односторонние углы, разность которых равна 36°, а отношение 3: 2. Докажите, что данные прямые параллельны. 3. Отрезки АВ и CD параллельны и равны. Докажите, что AAOB = ADOC, где О – точка пересечения отрезков AD и ВС.

1. Пусть даны две параллельные прямые $$a$$ и $$b$$, пересеченные секущей $$c$$. При этом образуются 8 углов. Сумма двух из этих углов равна $$72^\circ$$. Необходимо найти каждый из восьми углов. Возможные случаи: * Сумма двух вертикальных углов. Вертикальные углы равны, следовательно, каждый из них равен $$72^\circ : 2 = 36^\circ$$. Тогда смежные с ними углы равны $$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$. Остальные четыре угла равны либо $$36^\circ$$, либо $$144^\circ$$ соответственно, так как при пересечении параллельных прямых секущей соответственные, накрест лежащие и односторонние углы попарно равны или в сумме дают $$180^\circ$$. * Сумма двух соответственных углов. Соответственные углы равны, следовательно, каждый из них равен $$72^\circ : 2 = 36^\circ$$. Тогда остальные углы аналогичны предыдущему случаю: $$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$. * Сумма двух накрест лежащих углов. Накрест лежащие углы равны, следовательно, каждый из них равен $$72^\circ : 2 = 36^\circ$$. Тогда остальные углы аналогичны предыдущему случаю: $$180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$$. * Сумма двух односторонних углов. Односторонние углы в сумме дают $$180^\circ$$, но по условию их сумма $$72^\circ$$. Этот случай невозможен, так как секущая не может пересекать параллельные прямые под таким углом. * Сумма смежных углов. Смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, но по условию их сумма $$72^\circ$$. Этот случай невозможен, так как $$72^\circ
e 180^\circ$$. Ответ: Углы равны $$36^\circ$$ и $$144^\circ$$. 2. Пусть секущая $$c$$ пересекает две прямые $$a$$ и $$b$$, образуя внутренние односторонние углы, разность которых равна $$36^\circ$$, а отношение $$3:2$$. Необходимо доказать, что прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны. Обозначим внутренние односторонние углы как $$3x$$ и $$2x$$. Тогда, по условию, их разность равна $$36^\circ$$: $$3x - 2x = 36^\circ$$ $$x = 36^\circ$$ Следовательно, углы равны: $$3x = 3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$$ $$2x = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$$ Сумма этих углов равна: $$108^\circ + 72^\circ = 180^\circ$$ Так как сумма внутренних односторонних углов равна $$180^\circ$$, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны по признаку параллельности прямых. Ответ: Прямые параллельны. 3. Дано: отрезки $$AB$$ и $$CD$$ параллельны и равны. $$O$$ - точка пересечения отрезков $$AD$$ и $$BC$$. Доказать: $$\triangle AOB = \triangle DOC$$. Доказательство: Рассмотрим треугольники $$\triangle AOB$$ и $$\triangle DOC$$. * $$AB = CD$$ (по условию). * $$\angle OAB = \angle ODC$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$AD$$. * $$\angle OBA = \angle OCD$$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AB$$ и $$CD$$ и секущей $$BC$$. Следовательно, $$\triangle AOB = \triangle DOC$$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Ответ: $$\triangle AOB = \triangle DOC$$.