Домашняя работа. Вероятность и статистика 1) В коробке 11 ручек, из них 4 красные, остальные синие. Из коробки не глядя забирают 6 ручек. Найдите вероятность того, что среди них: а) ровно 2 синие; б) не все красные. 2) В ящике вперемешку хранились 3 луковицы белых и 6 луковиц красных тюльпанов. на вид луковицы неотличимы. Все луковицы высадили в ящик, но ростки дали только 5 луковиц. Найдите вероятность того, что среди проросших луковиц от 2 до 4 красных.

Привет! Сейчас мы вместе решим эту задачу по теории вероятностей. Будет интересно!

Задача 1

В коробке 11 ручек, из них 4 красные и 7 синих. Из коробки случайным образом достают 6 ручек. Нужно найти вероятности следующих событий:

1. Среди выбранных 6 ручек ровно 2 синие.
2. Среди выбранных 6 ручек не все красные.

Решение (а)

Определим общее количество способов выбрать 6 ручек из 11. Это можно сделать с помощью сочетаний:

\[ C_{11}^6 = \frac{11!}{6!(11-6)!} = \frac{11!}{6!5!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 462 \]

Теперь найдем количество способов выбрать 2 синие ручки из 7 и 4 красные ручки из 4:

\[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \] \[ C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1 \]

Перемножим эти значения, чтобы получить количество способов выбрать 2 синие и 4 красные ручки:

\[ 21 \cdot 1 = 21 \]

Теперь найдем вероятность того, что среди 6 выбранных ручек будет ровно 2 синие:

\[ P(\text{2 синие}) = \frac{\text{Количество способов выбрать 2 синие и 4 красные}}{\text{Общее количество способов выбрать 6 ручек}} = \frac{21}{462} = \frac{1}{22} \approx 0.0455 \]

Решение (б)

Найдем вероятность того, что среди выбранных 6 ручек не все красные. Это означает, что не все 6 ручек красные. Проще найти вероятность противоположного события: все 6 ручек красные, и вычесть её из 1.

Но у нас всего 4 красные ручки, поэтому невозможно выбрать 6 красных ручек. Значит, вероятность выбрать 6 красных ручек равна 0.

Следовательно, вероятность того, что среди выбранных 6 ручек не все красные, равна 1, так как невозможно выбрать 6 красных ручек:

\[ P(\text{не все красные}) = 1 - P(\text{все красные}) = 1 - 0 = 1 \]

Задача 2

В ящике 3 белых и 6 красных луковиц тюльпанов. Высадили 5 луковиц, и все они проросли. Нужно найти вероятность того, что среди проросших луковиц от 2 до 4 красных.

Решение

Всего луковиц: 3 белых + 6 красных = 9 луковиц.

Общее количество способов выбрать 5 луковиц из 9:

\[ C_9^5 = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 126 \]

Рассмотрим возможные варианты и вычислим вероятности для каждого из них:

1. 2 красные и 3 белые:

\[ C_6^2 \cdot C_3^3 = \frac{6!}{2!4!} \cdot \frac{3!}{3!0!} = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 1 = 15 \cdot 1 = 15 \]

2. 3 красные и 2 белые:

\[ C_6^3 \cdot C_3^2 = \frac{6!}{3!3!} \cdot \frac{3!}{2!1!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2} \cdot \frac{3}{1} = 20 \cdot 3 = 60 \]

3. 4 красные и 1 белая:

\[ C_6^4 \cdot C_3^1 = \frac{6!}{4!2!} \cdot \frac{3!}{1!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 3 = 15 \cdot 3 = 45 \]

Суммируем количество способов для этих вариантов:

\[ 15 + 60 + 45 = 120 \]

Вероятность того, что среди проросших луковиц от 2 до 4 красных:

\[ P(\text{от 2 до 4 красных}) = \frac{\text{Количество способов (2, 3 или 4 красные)}}{\text{Общее количество способов выбрать 5 луковиц}} = \frac{120}{126} = \frac{20}{21} \approx 0.9524 \]

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Теория вероятностей может показаться сложной, но с практикой ты сможешь решать и более сложные задачи. Удачи в дальнейшем изучении!