Домашняя работа: Выучить теорию из О.К. Решить задачи: 1. В прямоугольном треугольнике один из внешних углов равен 120°, а гипотенуза равна 12. Найдите длину катета, прилежащего к внутреннему углу треугольника, смежному с данным. 2. В прямоугольном треугольнике отрезок, соединяющий середины двух катетов, равен одному из них. Найдите угол между этим отрезком и этим катетом.

Решим задачи по геометрии.

Задача 1:

В прямоугольном треугольнике один из внешних углов равен 120°, а гипотенуза равна 12. Найдите длину катета, прилежащего к внутреннему углу треугольника, смежному с данным.

1. Внешний угол при вершине равен 120°, значит, внутренний угол при этой вершине равен:$$180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$$
2. Так как треугольник прямоугольный, то второй острый угол равен: $$90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$
3. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Гипотенуза равна 12, тогда катет равен:$$\frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$

Ответ: 6

Задача 2:

В прямоугольном треугольнике отрезок, соединяющий середины двух катетов, равен одному из них. Найдите угол между этим отрезком и этим катетом.

1. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является средней линией. Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине.
2. По условию, средняя линия равна одному из катетов. Пусть катет, которому равна средняя линия, будет a. Тогда средняя линия также равна a, а другой катет равен 2a.
3. Обозначим угол между средней линией и катетом, равным a, как \(\alpha\). Тогда:$$\tan(\alpha) = \frac{2a}{a} = 2$$
4. Чтобы найти угол \(\alpha\), возьмем арктангенс от 2:$$\alpha = \arctan(2) ≈ 63.43^{\circ}$$

Ответ: \(\arctan(2) ≈ 63.43^{\circ}\)