Дополнительное задание. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°. Вариант ІІ 1. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. Дополнительное задание. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105°.

Question

Вопрос:

Дополнительное задание. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 150°. Вариант ІІ 1. В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C проведена биссектриса EF, причем FC = 13 см. Найдите расстояние от точки F до прямой DE. 2. Постройте прямоугольный треугольник по катету и прилежащему к нему острому углу. Дополнительное задание. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 105°.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дополнительное задание:

Построение угла в 150°:

Проведи луч OA.

Из точки O циркулем сделай засечку на луче OA. Обозначь точку пересечения A.

Из точки A, не меняя раствора циркуля, отложи на дуге две засечки: первую на расстоянии радиуса от A (это будет 60°), вторую от первой (это будет 120°).

Из точки, соответствующей 120°, сделай засечку на дуге. Эта точка будет соответствовать углу 120°.

Чтобы построить угол 150°, нужно построить угол 30° (180° - 150°). Для этого раздели угол 60° (между 120° и 180°) пополам.

Проведи луч OB через точку, соответствующую 150°. Угол AOB = 150°.

Задание 1 (Вариант II):

В прямоугольном треугольнике DCE с прямым углом C:

Дано: \( \triangle DCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), CF - биссектриса, \( FC = 13 \) см.

Найти: Расстояние от F до DE.

Решение:

Поскольку EF - биссектриса, то \( \angle ECF = \angle DCF = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике FCE, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle E = 45^{\circ} \), значит \( \angle CFE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \triangle FCE \) - равнобедренный, и \( CE = EF \).

В прямоугольном треугольнике DCE, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle E = 45^{\circ} \), значит \( \triangle DCE \) - равнобедренный, и \( CE = CD \).

Расстояние от точки F до прямой DE - это высота, опущенная из F на DE. Обозначим основание этой высоты как H.

Рассмотрим \( \triangle FCH \). \( \angle C = 90^{\circ} \). \( \angle FCH = 45^{\circ} \). \( CH = FC \cos(45^{\circ}) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \). \( FH = FC \sin(45^{\circ}) = 13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Так как \( CE = CD \), и EF - биссектриса, то F лежит на биссектрисе угла E.

В прямоугольном треугольнике DCE, \( \angle E = 45^{\circ} \).

Чтобы найти расстояние от F до DE, нам нужно найти высоту \( FH \) в \( \triangle FDE \).

Из \( \triangle FCE \), \( EF = CE \). \( CD = CE \).

Пусть \( CD = CE = x \). Тогда \( DE = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2} \).

Площадь \( \triangle DCE = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{x^2}{2} \).

Также площадь \( \triangle DCE = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot CH \), где CH - высота к гипотенузе DE.

Так как EF - биссектриса, то \( \frac{CF}{FE} = \frac{CD}{DE} = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \).

Это не совсем правильный подход. Вернемся к \( \triangle FCE \).

\( \angle E = 45^{\circ} \), \( \angle C = 90^{\circ} \). \( FC = 13 \).

Пусть FH - высота из F на DE. \( \triangle FHE \) - прямоугольный. \( \angle FEH = 45^{\circ} \).

Угол \( \angle CEF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle FCE \), \( EF = \sqrt{FC^2 + CE^2} \).

В \( \triangle DCE \), \( \tan E = \frac{CD}{CE} \). Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и EF - биссектриса, \( \angle E = 45^{\circ} \).

Пусть \( CD = CE = a \). Тогда \( DE = a\sqrt{2} \).

По свойству биссектрисы: \( \frac{EF}{EC} = \frac{DF}{DC} \) - это не так.

По свойству биссектрисы, делящей противоположную сторону, \( \frac{DE}{CD} = \frac{EF}{FC} \).

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle E = 45^{\circ} \).

Высота FH из F на DE. \( \triangle FHE \) - прямоугольный. \( \angle E = 45^{\circ} \).

В \( \triangle DCE \), \( \tan E = \frac{CD}{CE} \).

Пусть \( CD = x \), \( CE = y \). \( \angle C = 90^{\circ} \).

EF - биссектриса, \( \angle ECF = \angle DCF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle E = 45^{\circ} \), \( \angle CFE = 45^{\circ} \).

Значит, \( CE = EF \).

По теореме Пифагора в \( \triangle FCE \): \( FC^2 + CE^2 = EF^2 \).

\( 13^2 + CE^2 = CE^2 \). Это невозможно. Значит, угол C не равен 90.

Условие: \( \triangle DCE \) - прямоугольный с прямым углом C.

EF - биссектриса угла E. Тогда \( \angle CEF = \angle DEF \).

Нет, EF - биссектриса угла C. Тогда \( \angle ECF = \angle DCF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

По теореме Пифагора: \( EF^2 = FC^2 + CE^2 \).

По свойству биссектрисы: \( \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE} \).

В \( \triangle DCE \), \( \tan E = \frac{CD}{CE} \).

Пусть \( CE = x \). Тогда \( EF = \sqrt{13^2 + x^2} \).

Пусть H - проекция F на DE. Нам нужно найти FH.

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

По теореме Пифагора: \( EF^2 = FC^2 + CE^2 \).

Площадь \( \triangle FCE = \frac{1}{2} \cdot FC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot x \).

Высота из C на EF.

В \( \triangle FCE \), \( \angle E = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Так как \( \angle E = 45^{\circ} \) и \( \angle ECF = 45^{\circ} \), то \( \triangle FCE \) - равнобедренный, \( CE = FC = 13 \) см.

В \( \triangle DCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CE = 13 \).

EF - биссектриса угла C. \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( FC = 13 \).

Пусть H - проекция F на DE. Нужно найти FH.

В \( \triangle FCE \), \( CE = 13 \). \( EF = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2} \).

Расстояние от F до DE.

Рассмотрим \( \triangle DCE \). \( \angle C = 90^{\circ} \).

EF - биссектриса угла C, \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

Пусть \( CD = a \), \( CE = b \). \( FC = 13 \).

По теореме о биссектрисе: \( \frac{CD}{CE} = \frac{DF}{FE} \).

В \( \triangle FCE \): \( EF^2 = FC^2 + CE^2 = 13^2 + b^2 \).

В \( \triangle FCD \): \( FD^2 = FC^2 + CD^2 = 13^2 + a^2 \).

\( DE = a+b \).

\( DE^2 = a^2 + b^2 \).

\( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) - это не так.

\( \triangle DCE \) - прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \). \( CE=13 \).

EF - биссектриса. \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle FCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( CE = 13 \). \( FC = 13 \).

Значит \( \triangle FCE \) - равнобедренный прямоугольный. \( \angle E = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle CEF = 45^{\circ} \).

Так как EF - биссектриса угла C, \( \angle ECF = 45^{\circ} \).

В \( \triangle DCE \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle E = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle D = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

\( \triangle DCE \) - равнобедренный прямоугольный, \( CE = CD = 13 \) см.

EF - биссектриса угла C.

\( F \) лежит на биссектрисе угла C.

Расстояние от F до DE.

Пусть H - точка на DE, такая что FH \( \perp DE \).

В \( \triangle DCE \), \( CE = CD = 13 \). \( DE = 13\sqrt{2} \).

Площадь \( \triangle DCE = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 = \frac{169}{2} \).

Площадь \( \triangle DCE = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot CH \), где CH - высота к гипотенузе. \( CH = \frac{169/2}{13\sqrt{2}/2} = \frac{169}{13\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2} \).

EF - биссектриса угла C. \( \frac{DF}{FE} = \frac{CD}{CE} = \frac{13}{13} = 1 \).

Значит, F - середина DE.

Тогда FH - медиана к гипотенузе DE.

FH = DE/2 = \( \frac{13\sqrt{2}}{2} \).

Ответ: \( \frac{13\sqrt{2}}{2} \) см.

Задание 2:

Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему острому углу:

Проведи прямую линию. Отметь на ней точку A.

Из точки A построй перпендикуляр AB. Отрезок AB - это искомый катет.

Из точки A отложи угол, равный заданному острому углу. Обозначь его \( \alpha \).

Проведи луч AC под углом \( \alpha \) к прямой, на которой лежит катет AB.

Точка C, в которой луч AC пересекает прямую, проходящую через B и перпендикулярную AB, является третьей вершиной треугольника.

\( \triangle ABC \) - искомый прямоугольный треугольник.

Дополнительное задание:

Построение угла в 105°:

Проведи луч OA.

Из точки O сделай засечку на луче OA. Обозначь точку A.

Из точки A, не меняя раствора циркуля, отложи две засечки на дуге: первая (60°), вторая от первой (120°).

Из точки, соответствующей 120°, сделай засечку на дуге. Это будет 120°.

Чтобы построить 105°, нужно построить угол 15° (120° - 105°).

Построй биссектрису угла 30° (между 120° и 90°).

Построй биссектрису угла 60° (между 90° и 150°, если бы мы строили 150).

Проще: Построй угол 90°, затем угол 60°. Раздели угол 60° пополам, получишь 30°. Затем раздели 30° пополам, получишь 15°. Прибавь 90° + 15° = 105°.

Альтернатива: Построй угол 120°. Построй угол 90°. Найди разность 120° - 90° = 30°. Раздели 30° пополам, получишь 15°. Прибавь 90° + 15° = 105°.

Более простой способ: Построй угол 90° (\(\angle AOC = 90^{\circ}\)). Построй угол 60° (\(\angle AOB = 60^{\circ}\)). Отложи угол 30° от луча OB, чтобы получить угол 90°.

Проведи луч OA. Построй засечку A. Из A отложи 60° (точка B) и 120° (точка C). Угол AOC = 120°.

Построй угол 90° (\(\angle AOD = 90^{\circ}\)).

Найди середину дуги между 120° (C) и 90° (D). Для этого из C и D сделай засечки, пересекающиеся в точке E. Луч OE будет соответствовать 105°.

Угол AOE = 105°.

Ответ: Построение выполнено согласно описанию.