Дополнительные задания. 1) Найдите НОД (48, 180) и НОК (48, 180). 2) Известно, что НОД (a, b) = 6, а НОК (a, b) = 72. Чему равно произведение a · b? 3) Найдите две натуральные числа, НОД которых равен 8, а НОК — 120. 4) Верно ли утверждение: если НОД (a, b) = 1, то НОК (a, b) = a · b? Объясните свой ответ и приведите примеры.

Разложим числа на простые множители: \(48=2^4\cdot3\), \(180=2^2\cdot3^2\cdot5\).

НОД — произведение общих простых множителей в наименьших степенях: \(\text{НОД}(48,180)=2^2\cdot3=12\).

НОК — произведение простых множителей в наибольших степенях: \(\text{НОК}(48,180)=2^4\cdot3^2\cdot5=720\).

Для натуральных чисел выполняется равенство \(a\cdot b=\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)\).

Подставим данные: \(a\cdot b=6\cdot72=432\).

Подойдут числа 8 и 120: \(\text{НОД}(8,120)=8\), а \(\text{НОК}(8,120)=120\), поскольку 120 делится на 8.

Утверждение верно. Если \(\text{НОД}(a,b)=1\), то из равенства \(a\cdot b=\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)\) следует, что \(\text{НОК}(a,b)=a\cdot b\).

Например, для 3 и 4 НОД равен 1, а НОК равен \(12=3\cdot4\). Для 5 и 7 НОД равен 1, а НОК равен \(35=5\cdot7\).