14:47 ДР_10класс_ВиС_180326 64 Готово Элементарное событие «Коле выпадет шестерка на пятом ороске» можно описать как ННННУ, то есть успеху предшествовало четыре неудачи. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой: Р(ННННУ)-4-(3)-0,0804 Пример 4. Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р = 0,2. Какова вероятность того, что стрелку потребуется: а) ровно два выстрела; б) не больше пяти выстрелов? Решение: По условию р=0,2, откуда q=1-0,2-0,8. а) Р(НУ) д-р 0,8-0,2-0,16 б) Событию А «не больше пяти выстрелов» благоприятствуют элементарные события У, НУ, ННУ, НННУ и ННННУ. Вероятность события А равна: P(A)=p+qp+q+p+q²p+q+p Обратите внимание учеников на то, что полученное выражение сумма первых пяти членов геометрической прогрессии со знаменателем а и первым членом р. По формуле суммы геометрической прогрессии находим (с учетом того, что р=1-q): P(A)=p.p.1-9-1-9-1-(0.8) -0,672 1-4 P Задачу можно решить иначе, рассмотрев противоположное событие А «потребуется больше пяти выстрелов». Оно наступает, только если первые пять выстрелов неудачны. Вероятность этого (1)-4. Следовательно: P(A)-1-P(1)-1-4-1-(0,8)-0,672 ВЫВОД: Вероятность события А «Успех случится на п-м шаге испытания» равна: P(A)= q"-¹ p Вероятность события А «Успех случится позже и испытания» равна: P(A)= q" Вероятность события А «Успех случится не позже и испытания» равна: Р(А)=1-9" Вероятность события А «для достижения успеха потребуется от к до п испытаний, где k<n» равна: P(A)=q-1-q" ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ ИУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА ВЫПОЛНИТЬ ЗАДАНИЯ: 1. Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Постройте дерево Укажите в дереве эксперимента. событие А и найдите его вероятность, если событие А состоит в том, что: а) потребуется ровно два броска; б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз орёл; 2. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Найдите вероятность того, что будет сделано: а) ровно 2 броска; в) ровно 6 бросков; б) ровно 3 броска; г) не более 4 бросков. 3. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р = 0,6. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток.

Задание 1

Монету бросают до тех пор, пока не выпадет орёл. Нужно построить дерево эксперимента и найти вероятность события A, состоящего в том, что:

• a) потребуется ровно два броска;
• б) три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл.

Решение:

а) Вероятность того, что потребуется ровно два броска, означает, что сначала выпадет решка, а затем орёл. Вероятность выпадения решки (Р) равна 0.5, и вероятность выпадения орла (О) тоже 0.5.

• Первый бросок: Р (0.5)
• Второй бросок: О (0.5)

Вероятность события А: P(A) = P(Р) * P(О) = 0.5 * 0.5 = 0.25

б) Вероятность того, что три раза выпадет решка, на четвёртый раз — орёл:

• Первый бросок: Р (0.5)
• Второй бросок: Р (0.5)
• Третий бросок: Р (0.5)
• Четвёртый бросок: О (0.5)

Вероятность события А: P(A) = P(Р) * P(Р) * P(Р) * P(О) = 0.5 * 0.5 * 0.5 * 0.5 = 0.0625

Задание 2

Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестёрка. Необходимо найти вероятность того, что потребуется:

• а) ровно 2 броска;
• б) ровно 3 броска;
• в) ровно 6 бросков;
• г) не более 4 бросков.

Решение:

Вероятность выпадения шестёрки равна 1/6, а вероятность не выпадения шестёрки равна 5/6.

а) Ровно 2 броска:

Чтобы шестёрка выпала ровно на второй бросок, первый бросок должен быть не шестёркой.

P(A) = (5/6) * (1/6) = 5/36 ≈ 0.1389

б) Ровно 3 броска:

Чтобы шестёрка выпала ровно на третий бросок, первые два броска должны быть не шестёркой.

P(B) = (5/6) * (5/6) * (1/6) = 25/216 ≈ 0.1157

в) Ровно 6 бросков:

Чтобы шестёрка выпала ровно на шестой бросок, первые пять бросков должны быть не шестёркой.

P(C) = (5/6)^5 * (1/6) = (3125/7776) * (1/6) = 3125/46656 ≈ 0.0669

г) Не более 4 бросков:

Это означает, что шестёрка может выпасть на первом, втором, третьем или четвёртом броске.

P(D) = P(1) + P(2) + P(3) + P(4), где P(n) - вероятность выпадения шестёрки на n-ном броске.

P(1) = 1/6

P(2) = (5/6) * (1/6) = 5/36

P(3) = (5/6)^2 * (1/6) = 25/216

P(4) = (5/6)^3 * (1/6) = 125/1296

P(D) = 1/6 + 5/36 + 25/216 + 125/1296 = 216/1296 + 180/1296 + 150/1296 + 125/1296 = 671/1296 ≈ 0.5177

Задание 3

Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадёт в неё. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна p = 0.6. Нужно найти вероятность того, что стрелку потребуется ровно 5 попыток.

Решение:

Вероятность промаха равна q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4.

Чтобы стрелку потребовалось ровно 5 попыток, первые 4 выстрела должны быть промахами, а пятый — попаданием.

P(5) = q^4 * p = (0.4)^4 * 0.6 = 0.01536