Дробь \(\frac{3x}{x^2-1}\) можно представить в виде суммы

Для того чтобы представить дробь в виде суммы, разложим знаменатель на множители:

$$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$

Представим дробь в виде суммы:

$$\frac{3x}{x^2 - 1} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{3x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A(x + 1) + B(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}$$

Приравняем числители:

$$3x = A(x + 1) + B(x - 1)$$

Раскроем скобки:

$$3x = Ax + A + Bx - B$$

Сгруппируем члены:

$$3x = (A + B)x + (A - B)$$

Приравняем коэффициенты при x и свободные члены:

$$\begin{cases}
A + B = 3 \\
A - B = 0
\end{cases}$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}
A = B \\
2A = 3
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
A = 1.5 \\
B = 1.5
\end{cases}$$

Тогда:

$$\frac{3x}{x^2 - 1} = \frac{1.5}{x - 1} + \frac{1.5}{x + 1}$$

Приведем к виду, указанному в ответах. Домножим числитель и знаменатель на 2:

$$\frac{3x}{x^2 - 1} = \frac{3}{2(x - 1)} + \frac{3}{2(x + 1)} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}$$

Следовательно, правильный ответ:

$$\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$

где \(A=1, B=1\).

Ответ: \(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}\)