Дробь с дробями. Упростите дробь \(\dfrac{3+\dfrac{1}{x}}{3-\dfrac{1}{x}}\). Поставьте в соответствие каждому действию результат, полученный при его выполнении: числитель изначальной дроби после его упрощения; знаменатель изначальной дроби после его упрощения; конечный результат деления числителя на знаменатель.

Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на \(x\), чтобы избавиться от вложенных дробей:

\(3+\dfrac{1}{x}=\dfrac{3x+1}{x}\), поэтому числитель после упрощения — \(\dfrac{3x+1}{x}\).

\(3-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3x-1}{x}\), поэтому знаменатель после упрощения — \(\dfrac{3x-1}{x}\).

Теперь разделим числитель на знаменатель:

\[\dfrac{\dfrac{3x+1}{x}}{\dfrac{3x-1}{x}}=\dfrac{3x+1}{x}\cdot\dfrac{x}{3x-1}=\dfrac{3x+1}{3x-1}.\]

Ответ:

• числитель — \(\dfrac{3x+1}{x}\);
• знаменатель — \(\dfrac{3x-1}{x}\);
• конечный результат — \(\dfrac{3x+1}{3x-1}\).