дробь выражения: (-\frac{2}{3} a^{-2} b^{3})^{-2} \cdot \frac{8 b^{4}}{a^{2}} = (b^{-2} - a^{-2}) \cdot (\frac{a+b}{a b})^{-1} = (-\frac{2 a}{3 b^{-3}})^{-2} \cdot (\frac{a^{-2}}{4 b^{5}})^{-1} =

Первое выражение:

1. Применим свойство степени произведения: \((-\frac{2}{3} a^{-2} b^{3})^{-2} = (-\frac{2}{3})^{-2} (a^{-2})^{-2} (b^{3})^{-2}\)
2. Упростим каждое выражение: \((-\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}\), \((a^{-2})^{-2} = a^{4}\), \((b^{3})^{-2} = b^{-6}\)
3. Подставим в исходное выражение: \(\frac{9}{4} a^{4} b^{-6} \cdot \frac{8 b^{4}}{a^{2}} = \frac{9 \cdot 8}{4} a^{4-2} b^{-6+4} = 18 a^{2} b^{-2} = \frac{18 a^{2}}{b^{2}}\)

Ответ: \(\frac{18 a^{2}}{b^{2}}\)

Второе выражение:

1. Применим свойство степени дроби: \((\frac{a+b}{a b})^{-1} = \frac{a b}{a+b}\)
2. Упростим выражение: \((b^{-2} - a^{-2}) \cdot (\frac{a+b}{a b})^{-1} = (\frac{1}{b^{2}} - \frac{1}{a^{2}}) \cdot \frac{a b}{a+b} = \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} b^{2}} \cdot \frac{a b}{a+b}\)
3. Разложим разность квадратов: \(\frac{(a - b)(a + b)}{a^{2} b^{2}} \cdot \frac{a b}{a+b} = \frac{(a - b) a b (a + b)}{a^{2} b^{2} (a+b)} = \frac{a - b}{a b}\)

Ответ: \(\frac{a - b}{a b}\)

Третье выражение:

1. Применим свойство степени дроби: \((-\frac{2 a}{3 b^{-3}})^{-2} = (-\frac{2 a}{3})^{-2} (b^{-3})^{-(-2)} = (\frac{3}{2 a})^{2} b^{-6} = \frac{9}{4 a^{2}} b^{-6}\)
2. Применим свойство степени дроби: \((\frac{a^{-2}}{4 b^{5}})^{-1} = \frac{4 b^{5}}{a^{-2}} = 4 a^{2} b^{5}\)
3. Упростим выражение: \(\frac{9}{4 a^{2}} b^{-6} \cdot 4 a^{2} b^{5} = \frac{9 \cdot 4}{4} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}} \cdot b^{-6+5} = 9 b^{-1} = \frac{9}{b}\)

Ответ: \(\frac{9}{b}\)