2.7 Дроби 2.7.1. («Надежда энергетики», 2021, 5.1) Сравните дроби \frac{20222021}{20212020} и \frac{20212020}{20202019}. 2.7.2. («Покори Воробьёвы горы!», 2017, 5-6.2, 7-8.1) Найдите две положительные несократи- мые дроби со знаменателями, не превосходящими 100, сумма которых равна 86/111. 2.7.3. («Покори Воробьёвы горы!», 2016, 5-6.3) Найдите все несократимые положительные дроби, которые увеличиваются в 3 раза, если увеличить и числитель и знаменатель на 12. 2.7.4. («Покори Воробьёвы горы!», 2023, 5-6.3, 7-8.2) Пусть \frac{a}{b} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+ \frac{1}{399} - \frac{1}{400} и дробь \frac{a}{b} несократима. Какой остаток даёт а при делении на 601?

2.7.1. Сравните дроби: \(\frac{20222021}{20212020}\) и \(\frac{20212020}{20202019}\)

Заметим, что обе дроби очень близки к 1, поэтому сравним их с помощью вычитания из 1:

\(1 - \frac{20222021}{20212020} = \frac{20212020 - 20222021}{20212020} = \frac{-10001}{20212020}\)

\(1 - \frac{20212020}{20202019} = \frac{20202019 - 20212020}{20202019} = \frac{-10001}{20202019}\)

Так как знаменатель первой дроби больше, то первая дробь ближе к 1, чем вторая. Следовательно:

\(\frac{20222021}{20212020} < \frac{20212020}{20202019}\)

2.7.2. Найдите две положительные несократимые дроби со знаменателями, не превосходящими 100, сумма которых равна \(\frac{86}{111}\).

Разложим дробь \(\frac{86}{111}\) на две дроби. Заметим, что \(111 = 3 \cdot 37\). Представим \(\frac{86}{111}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями 3 и 37:

\(\frac{86}{111} = \frac{x}{3} + \frac{y}{37} = \frac{37x + 3y}{111}\)

Тогда \(37x + 3y = 86\). Выразим y через x:

\(3y = 86 - 37x\)

\(y = \frac{86 - 37x}{3}\)

Подберем такое x, чтобы y было целым числом. При \(x = 2\) получим:

\(y = \frac{86 - 37 \cdot 2}{3} = \frac{86 - 74}{3} = \frac{12}{3} = 4\)

Итак, \(\frac{86}{111} = \frac{2}{3} + \frac{4}{37}\). Обе дроби несократимые, и знаменатели не превосходят 100.

2.7.3. Найдите все несократимые положительные дроби, которые увеличиваются в 3 раза, если увеличить и числитель и знаменатель на 12.

Пусть \(\frac{a}{b}\) - искомая дробь. Тогда по условию:

\(\frac{a + 12}{b + 12} = 3 \cdot \frac{a}{b}\)

\(b(a + 12) = 3a(b + 12)\)

\(ab + 12b = 3ab + 36a\)

\(2ab - 12b + 36a = 0\)

\(ab - 6b + 18a = 0\)

\(b(a - 6) = -18a\)

\(b = \frac{-18a}{a - 6} = \frac{-18(a - 6) - 18 \cdot 6}{a - 6} = -18 - \frac{108}{a - 6}\)

Чтобы b было положительным, \(a - 6 < 0\), то есть \(a < 6\). Переберем все варианты для a от 1 до 5:

• Если \(a = 1\), то \(b = -18 - \frac{108}{-5} = -18 + \frac{108}{5} = \frac{-90 + 108}{5} = \frac{18}{5}\) - не целое.
• Если \(a = 2\), то \(b = -18 - \frac{108}{-4} = -18 + 27 = 9\). Дробь \(\frac{2}{9}\) - несократимая.
• Если \(a = 3\), то \(b = -18 - \frac{108}{-3} = -18 + 36 = 18\). Дробь \(\frac{3}{18} = \frac{1}{6}\) - сократимая.
• Если \(a = 4\), то \(b = -18 - \frac{108}{-2} = -18 + 54 = 36\). Дробь \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\) - сократимая.
• Если \(a = 5\), то \(b = -18 - \frac{108}{-1} = -18 + 108 = 90\). Дробь \(\frac{5}{90} = \frac{1}{18}\) - сократимая.

Таким образом, единственная несократимая дробь, удовлетворяющая условию, это \(\frac{2}{9}\).

2.7.4. Пусть \(\frac{a}{b} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{399} - \frac{1}{400}\) и дробь \(\frac{a}{b}\) несократима. Какой остаток даёт a при делении на 601?

Преобразуем данную сумму:

\[ \frac{a}{b} = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{399} + \frac{1}{400}\right) - 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{400}\right) = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{400}\right) - \left(1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{200}\right) = \frac{1}{201} + \frac{1}{202} + ... + \frac{1}{400} \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ \frac{a}{b} = \left(\frac{1}{201} + \frac{1}{400}\right) + \left(\frac{1}{202} + \frac{1}{399}\right) + ... + \left(\frac{1}{300} + \frac{1}{301}\right) = \sum_{k=201}^{300} \left(\frac{1}{k} + \frac{1}{601-k}\right) = \sum_{k=201}^{300} \frac{601}{k(601-k)} = 601 \sum_{k=201}^{300} \frac{1}{k(601-k)} \]

Тогда \(\frac{a}{b} = 601 \cdot \frac{c}{d}\) для некоторых целых c и d. Значит, \(a = 601c\) и, следовательно, остаток от деления a на 601 равен 0.