Дробно-рациональное уравнение Решите уравнение z(z+2)+5/(z-1)=5/(z-1)+3 Введите количество решений уравнения

Решение:

Дано дробно-рациональное уравнение:

\[ z(z+2) + \frac{5}{z-1} = \frac{5}{z-1} + 3 \]

Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной \( z \). Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому \( z - 1 \neq 0 \), что означает \( z \neq 1 \).

Теперь упростим уравнение:

Вычтем \( \frac{5}{z-1} \) из обеих частей уравнения:

\[ z(z+2) = 3 \]

Раскроем скобки:

\[ z^2 + 2z = 3 \]

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ z^2 + 2z - 3 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу дискриминанта.

Способ 1: Теорема Виета

Для уравнения \( z^2 + 2z - 3 = 0 \) имеем:

• Сумма корней \( z_1 + z_2 = -2 \)
• Произведение корней \( z_1 \cdot z_2 = -3 \)

Подбираем числа, которые удовлетворяют этим условиям. Это \( 3 \) и \( -1 \).

• \( 3 + (-1) = 2 \) (не подходит)
• \( -3 + 1 = -2 \)
• \( -3 \cdot 1 = -3 \)

Значит, корни \( z_1 = -3 \) и \( z_2 = 1 \).

Способ 2: Формула дискриминанта

Коэффициенты уравнения: \( a=1, b=2, c=-3 \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения:

\[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

\( z_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( z_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь проверим найденные корни с учётом ОДЗ \( z \neq 1 \).

Корень \( z_1 = 1 \) не удовлетворяет условию \( z \neq 1 \), поэтому он является посторонним.

Корень \( z_2 = -3 \) удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, уравнение имеет одно решение.

Ответ: 1