Дробно - рациональные уравнения. Решите уравнение: \(\frac{2}{x+5} = \frac{5}{x+2}\)

Решение:

1. Данное уравнение является дробно-рациональным. Для его решения приведем обе части к общему знаменателю или используем метод перекрестного умножения.
2. Перемножим крест-накрест: \(2 \cdot (x+2) = 5 \cdot (x+5)\)
3. Раскроем скобки: \(2x + 4 = 5x + 25\)
4. Перенесем слагаемые с переменной \(x\) в одну сторону, а свободные члены — в другую: \(2x - 5x = 25 - 4\)
5. Упростим: \(-3x = 21\)
6. Найдем \(x\), разделив обе части на \(-3\): \(x = \frac{21}{-3}\)
7. \(x = -7\)
8. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при \(x = -7\). \(x+5 = -7+5 = -2 \neq 0\). \(x+2 = -7+2 = -5 \neq 0\). Знаменатель не обращается в ноль, значит, корень подходит.

Ответ: x = -7.