Два 3D принтера должны были изготовить некоторое количество деталей. 4 часа принтеры проработали вместе, после чего первый принтер сломался. Второй принтер закончил оставшуюся часть работы за 1 час 30 минут. За какое время мог изготовить запланированное количество деталей второй принтер, если ему требуется для этого на 3 часа больше, чем первому?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• Пусть $$V$$ — общий объем работы (количество деталей), $$p_1$$ — производительность первого принтера, $$p_2$$ — производительность второго принтера.
• За 4 часа совместной работы принтеры изготовили $$4(p_1 + p_2)$$ деталей.
• Оставшуюся часть работы второй принтер выполнил за 1 час 30 минут, что равно 1.5 часам. Объем этой работы: $$1.5 imes p_2$$.
• Общий объем работы: $$V = 4(p_1 + p_2) + 1.5 p_2 = 4p_1 + 5.5p_2$$.
• Известно, что второму принтеру для выполнения всего объема работы требуется на 3 часа больше, чем первому.
• Время первого принтера: $$t_1 = V / p_1$$.
• Время второго принтера: $$t_2 = V / p_2$$.
• По условию: $$t_2 = t_1 + 3$$, что означает $$rac{V}{p_2} = rac{V}{p_1} + 3$$.
• Из этого следует, что $$V(rac{1}{p_2} - rac{1}{p_1}) = 3$$, или $$Vrac{p_1 - p_2}{p_1 p_2} = 3$$.
• Теперь нам нужно выразить $$p_1$$ и $$p_2$$ из первого уравнения, но нам не хватает данных.
• Однако, если предположить, что $$p_1$$ и $$p_2$$ — это скорость изготовления деталей в час, и $$V$$ — общее количество деталей, то:
• Пусть $$t_1$$ — время, за которое первый принтер мог бы изготовить все детали, а $$t_2$$ — время, за которое второй принтер мог бы изготовить все детали.
• Мы знаем, что $$t_2 = t_1 + 3$$.
• Совместная работа за 4 часа: $$4(rac{1}{t_1} + rac{1}{t_2}) = ext{часть работы, выполненная за 4 часа}$$.
• Оставшаяся работа: $$1 - 4(rac{1}{t_1} + rac{1}{t_2})$$.
• Второй принтер выполнил эту работу за 1.5 часа: $$1.5 imes rac{1}{t_2} = 1 - 4(rac{1}{t_1} + rac{1}{t_2})$$.
• $$1.5 imes rac{1}{t_2} = 1 - rac{4}{t_1} - rac{4}{t_2}$$.
• $$rac{1.5}{t_2} + rac{4}{t_2} = 1 - rac{4}{t_1}$$.
• $$rac{5.5}{t_2} = 1 - rac{4}{t_1}$$.
• Подставим $$t_1 = t_2 - 3$$:
• $$rac{5.5}{t_2} = 1 - rac{4}{t_2 - 3}$$.
• $$rac{5.5}{t_2} = rac{t_2 - 3 - 4}{t_2 - 3}$$.
• $$rac{5.5}{t_2} = rac{t_2 - 7}{t_2 - 3}$$.
• $$5.5(t_2 - 3) = t_2(t_2 - 7)$$.
• $$5.5t_2 - 16.5 = t_2^2 - 7t_2$$.
• $$t_2^2 - 7t_2 - 5.5t_2 + 16.5 = 0$$.
• $$t_2^2 - 12.5t_2 + 16.5 = 0$$.
• Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
• $$2t_2^2 - 25t_2 + 33 = 0$$.
• Найдем корни квадратного уравнения:
• $$D = (-25)^2 - 4 imes 2 imes 33 = 625 - 264 = 361$$.
• $$\sqrt{D} = 19$$.
• $$t_2 = rac{25 + 19}{2 imes 2} = rac{44}{4} = 11$$.
• $$t_2 = rac{25 - 19}{2 imes 2} = rac{6}{4} = 1.5$$.
• Так как $$t_2$$ — время, за которое второй принтер выполняет всю работу, и известно, что он закончил работу за 1.5 часа (что является одной из составляющих работы), то $$t_2$$ не может быть 1.5 часа.
• Следовательно, $$t_2 = 11$$ часов.
• Проверим: если $$t_2 = 11$$, то $$t_1 = 11 - 3 = 8$$ часов.
• Работа, выполненная за 4 часа: $$4 imes (rac{1}{8} + rac{1}{11}) = 4 imes (rac{11 + 8}{88}) = 4 imes rac{19}{88} = rac{19}{22}$$.
• Оставшаяся работа: $$1 - rac{19}{22} = rac{3}{22}$$.
• Время, за которое второй принтер выполнил оставшуюся работу: $$rac{3/22}{1/11} = rac{3}{22} imes 11 = rac{3}{2} = 1.5$$ часа. Это соответствует условию.

Ответ: 11 часов