Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля, а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля.

Из условия задачи известно, что \( v_1 = v_2 + 20 \) км/ч.

Расстояние \( S = 240 \) км.

Время в пути для первого автомобиля: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1} \) ч.

Время в пути для второго автомобиля: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2} \) ч.

Также известно, что первый автомобиль прибывает на 1 час раньше второго, то есть \( t_1 = t_2 - 1 \) ч.

Подставим выражения для времени:

\( \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_2} - 1 \)

Заменим \( v_2 \) на \( v_1 - 20 \):

\( \frac{240}{v_1} = \frac{240}{v_1 - 20} - 1 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{240}{v_1} + 1 = \frac{240}{v_1 - 20} \)

\( \frac{240 + v_1}{v_1} = \frac{240}{v_1 - 20} \)

Перемножим крест-накрест:

\( (240 + v_1)(v_1 - 20) = 240 v_1 \)

Раскроем скобки:

\( 240 v_1 - 4800 + v_1^2 - 20 v_1 = 240 v_1 \)

Упростим уравнение:

\( v_1^2 - 20 v_1 - 4800 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140 \)

Найдем скорость первого автомобиля \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80 \] км/ч.

Проверим скорость второго автомобиля:

\( v_2 = v_1 - 20 = 80 - 20 = 60 \) км/ч.

Время первого автомобиля: \( t_1 = \frac{240}{80} = 3 \) ч.

Время второго автомобиля: \( t_2 = \frac{240}{60} = 4 \) ч.

Разница во времени: \( t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1 \) ч. Условие выполнено.

Ответ: 80 км/ч.