Два автомобиля одновременно отправляются в 480-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Задача 1: Скорость автомобилей

Давай разберемся с этой задачей по шагам!

Дано:

• Общее расстояние: \( S = 480 \) км.
• Разница в скорости: \( v_1 - v_2 = 20 \) км/ч.
• Разница во времени: \( t_2 - t_1 = 2 \) ч.

Найти:

• Скорость первого автомобиля: \( v_1 \).

Решение:

1. Обозначим скорость второго автомобиля как \( v \) км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет \( v + 20 \) км/ч.
2. Время, которое затратил второй автомобиль: \( t_2 = \frac{S}{v} = \frac{480}{v} \) ч.
3. Время, которое затратил первый автомобиль: \( t_1 = \frac{S}{v + 20} = \frac{480}{v + 20} \) ч.
4. Мы знаем, что первый автомобиль прибыл на 2 часа раньше второго, то есть \( t_2 - t_1 = 2 \).
5. Подставим выражения для времени: \[ \frac{480}{v} - \frac{480}{v + 20} = 2 \]
6. Умножим обе части уравнения на \( v(v + 20) \), чтобы избавиться от знаменателей: \[ 480(v + 20) - 480v = 2v(v + 20) \]
7. Раскроем скобки: \[ 480v + 9600 - 480v = 2v^2 + 40v \]
8. Упростим: \[ 9600 = 2v^2 + 40v \]
9. Перенесем все в одну сторону и разделим на 2: \[ 2v^2 + 40v - 9600 = 0 \] \[ v^2 + 20v - 4800 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 20^2 - 4(1)(-4800) = 400 + 19200 = 19600 \]
11. Найдем \( √{D} \): \[ √{19600} = 140 \]
12. Найдем корни уравнения: \( v_1 = \frac{-b + √{D}}{2a} = \frac{-20 + 140}{2} = \frac{120}{2} = 60 \) и \( v_2 = \frac{-b - √{D}}{2a} = \frac{-20 - 140}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \).
13. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 60 \) км/ч — это скорость второго автомобиля.
14. Скорость первого автомобиля: \( v_1 = v + 20 = 60 + 20 = 80 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля составляет 80 км/ч.