1. Два автомобиля одновременно отправляются в 560-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Обозначим скорость первого автомобиля как $$v_1$$, а скорость второго автомобиля как $$v_2$$. Из условия задачи известно, что расстояние составляет 560 км.

Также известно, что скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, то есть:

$$v_1 = v_2 + 10$$

Время, затраченное первым автомобилем, на 1 час меньше времени, затраченного вторым автомобилем. Время находится по формуле $$t = \frac{S}{v}$$, где S — расстояние, v — скорость. Следовательно,

$$\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_1} = 1$$

Подставим выражение для $$v_1$$ в уравнение:

$$\frac{560}{v_2} - \frac{560}{v_2 + 10} = 1$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{560(v_2 + 10) - 560v_2}{v_2(v_2 + 10)} = 1$$ $$\frac{560v_2 + 5600 - 560v_2}{v_2^2 + 10v_2} = 1$$ $$\frac{5600}{v_2^2 + 10v_2} = 1$$

Умножим обе части на $$v_2^2 + 10v_2$$:

$$v_2^2 + 10v_2 = 5600$$

Перенесем все в одну сторону:

$$v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$v_2$$. Дискриминант равен:

$$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500$$

Тогда корни:

$$v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 \pm 150}{2}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:

$$v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \text{ км/ч}$$

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$$v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч}$$

Ответ: 80