21. Два автомобиля одновременно отправляются в 540-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 9 км/ч меньше, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч позже второго. Найди скорость первого автомобиля.

Пусть x – скорость первого автомобиля (км/ч), тогда (x+9) – скорость второго автомобиля (км/ч).

Время, которое первый автомобиль затратил на путь, равно $$\frac{540}{x}$$ (ч), а время, которое второй автомобиль затратил на путь, равно $$\frac{540}{x+9}$$ (ч).

Из условия задачи известно, что первый автомобиль прибыл к финишу на 2 часа позже второго, следовательно:

$$\frac{540}{x} - \frac{540}{x+9} = 2$$

Решим уравнение:

$$\frac{540(x+9) - 540x}{x(x+9)} = 2$$ $$\frac{540x + 4860 - 540x}{x^2 + 9x} = 2$$ $$\frac{4860}{x^2 + 9x} = 2$$

$$2(x^2 + 9x) = 4860$$

$$2x^2 + 18x = 4860$$

$$x^2 + 9x - 2430 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430) = 81 + 9720 = 9801$$

$$\sqrt{D} = \sqrt{9801} = 99$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 99}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 99}{2 \cdot 1} = \frac{-108}{2} = -54$$

Так как скорость не может быть отрицательной, то скорость первого автомобиля равна 45 км/ч.

Ответ: 45