Два автомобиля одновременно отправляются в пробег на 475 км. Первый едет со скоростью на 18 км/ч больше, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   • Пусть $$v_1$$ — скорость первого автомобиля (км/ч).
   • Пусть $$v_2$$ — скорость второго автомобиля (км/ч).
   • Пусть $$t_1$$ — время в пути первого автомобиля (ч).
   • Пусть $$t_2$$ — время в пути второго автомобиля (ч).
2. Запишем условия задачи в виде уравнений:
   • Расстояние одинаковое: $$S = 475$$ км.
   • Скорость первого на 18 км/ч больше скорости второго: $$v_1 = v_2 + 18$$.
   • Первый автомобиль прибывает на 2 часа раньше второго: $$t_1 = t_2 - 2$$.
   • Формула зависимости расстояния, скорости и времени: $$S = v ∙ t$$.
3. Выразим время через скорость и расстояние:
   • $$t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{475}{v_1}$$.
   • $$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{475}{v_2}$$.
4. Подставим выражения для времени в уравнение $$t_1 = t_2 - 2$$:
   • $$\frac{475}{v_1} = \frac{475}{v_2} - 2$$.
5. Заменим $$v_2$$ через $$v_1$$:
   • Из $$v_1 = v_2 + 18$$ следует $$v_2 = v_1 - 18$$.
   • Подставляем в уравнение: $$\frac{475}{v_1} = \frac{475}{v_1 - 18} - 2$$.
6. Решим полученное уравнение:
   • Приведем к общему знаменателю: $$\frac{475(v_1 - 18)}{v_1(v_1 - 18)} = \frac{475v_1 - 2v_1(v_1 - 18)}{v_1(v_1 - 18)}$$.
   • Приравниваем числители: $$475(v_1 - 18) = 475v_1 - 2v_1(v_1 - 18)$$.
   • $$475v_1 - 475 ∙ 18 = 475v_1 - 2v_1^2 + 36v_1$$.
   • $$475v_1 - 8550 = 475v_1 - 2v_1^2 + 36v_1$$.
   • Сокращаем $$475v_1$$: $$-8550 = -2v_1^2 + 36v_1$$.
   • Переносим все в одну сторону: $$2v_1^2 - 36v_1 - 8550 = 0$$.
   • Делим на 2: $$v_1^2 - 18v_1 - 4275 = 0$$.
7. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
   • $$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(1)(-4275) = 324 + 17100 = 17424$$.
   • $$√ D = √ 17424 = 132$$.
   • $$v_{1} = \frac{-b ± √ D}{2a} = \frac{18 ± 132}{2}$$.
   • Два возможных значения:
   • $$v_{1,1} = \frac{18 + 132}{2} = \frac{150}{2} = 75$$.
   • $$v_{1,2} = \frac{18 - 132}{2} = \frac{-114}{2} = -57$$.
   • Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем $$v_1 = 75$$ км/ч.
8. Проверка:
   • Если $$v_1 = 75$$ км/ч, то $$v_2 = 75 - 18 = 57$$ км/ч.
   • $$t_1 = \frac{475}{75} = 6.33$$ ч.
   • $$t_2 = \frac{475}{57} = 8.33$$ ч.
   • $$t_2 - t_1 = 8.33 - 6.33 = 2$$ ч. Условие выполняется.

Ответ: 75 км/ч