Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго, поэтому первый приезжает на место на 1 час раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля, зная, что расстояние между городами равно 560 км.

Пусть (v_1) - скорость первого автомобиля, а (v_2) - скорость второго автомобиля.

Пусть (t_1) - время в пути первого автомобиля, а (t_2) - время в пути второго автомобиля.

Из условия задачи известно, что:

• (v_1 = v_2 + 10) (скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго)
• (t_1 = t_2 - 1) (первый автомобиль приезжает на 1 час раньше второго)
• Расстояние между городами (S = 560) км.

Так как расстояние равно произведению скорости на время, мы можем записать:

$$ S = v_1 cdot t_1 = v_2 cdot t_2 $$

Подставим известные значения и выражения:

$$ 560 = (v_2 + 10)(t_2 - 1) $$

Также мы знаем, что (t_2 = \frac{560}{v_2}), поэтому можем заменить (t_2) в уравнении:

$$ 560 = (v_2 + 10)(\frac{560}{v_2} - 1) $$

Решим это уравнение относительно (v_2):

$$ 560 = (v_2 + 10)(\frac{560 - v_2}{v_2}) $$ $$ 560v_2 = (v_2 + 10)(560 - v_2) $$ $$ 560v_2 = 560v_2 - v_2^2 + 5600 - 10v_2 $$ $$ 0 = -v_2^2 - 10v_2 + 5600 $$ $$ v_2^2 + 10v_2 - 5600 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант (D = b^2 - 4ac), где (a = 1), (b = 10), (c = -5600):

$$ D = 10^2 - 4 cdot 1 cdot (-5600) = 100 + 22400 = 22500 $$

Теперь найдем корни уравнения:

$$ v_2 = \frac{-b pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 pm \sqrt{22500}}{2} = \frac{-10 pm 150}{2} $$

Получаем два возможных значения для (v_2):

$$ v_{2,1} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 $$ $$ v_{2,2} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, то (v_2 = 70) км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

$$ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 $$

Итак, скорость первого автомобиля (v_1 = 80) км/ч, а скорость второго автомобиля (v_2 = 70) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.