Контрольные задания > 21. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них осталось пробежать 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.
Вопрос:

21. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них осталось пробежать 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

  1. Пусть (v_1) – скорость первого бегуна (км/ч), а (v_2) – скорость второго бегуна (км/ч). По условию, (v_1 = v_2 - 2).
  2. Пусть (L) – длина круга в км.
  3. Первый бегун пробежал круг за время (\frac{L}{v_1}\) часов. Второй бегун пробежал круг за время (\frac{L}{v_2}\) часов.
  4. По условию, второй бегун пробежал круг на 1 минуту (=\(\frac{1}{60}\) часа) раньше, чем первый. Значит, $$\frac{L}{v_1} - \frac{L}{v_2} = \frac{1}{60}.$$
  5. Через 20 минут (=\(\frac{1}{3}\) часа) после старта первому бегуну осталось пробежать 400 м (=0.4 км) до конца круга. Значит, он пробежал (L - 0.4) км за \(\frac{1}{3}\) часа. Таким образом, $$\frac{L - 0.4}{v_1} = \frac{1}{3}.$$
  6. Выразим (L) из последнего уравнения: (L = \frac{v_1}{3} + 0.4).
  7. Подставим (v_1 = v_2 - 2) в первое уравнение: $$\frac{L}{v_2 - 2} - \frac{L}{v_2} = \frac{1}{60}.$$
  8. Умножим обе части на (60v_2(v_2-2)): $$60Lv_2 - 60L(v_2-2) = v_2(v_2-2).$$
  9. $$120L = v_2^2 - 2v_2.$$
  10. Подставим (L = \frac{v_1}{3} + 0.4 = \frac{v_2-2}{3} + 0.4): $$120(\frac{v_2-2}{3} + 0.4) = v_2^2 - 2v_2.$$
  11. $$40(v_2-2) + 48 = v_2^2 - 2v_2.$$
  12. $$40v_2 - 80 + 48 = v_2^2 - 2v_2.$$
  13. $$v_2^2 - 42v_2 + 32 = 0.$$
  14. Решим квадратное уравнение: $$D = 42^2 - 4 cdot 32 = 1764 - 128 = 1636.$$
  15. $$\sqrt{D} = \sqrt{1636} = 2\sqrt{409}.$$
  16. $$v_{2,1} = \frac{42 + 2\sqrt{409}}{2} = 21 + \sqrt{409} \approx 41.28.$$
  17. $$v_{2,2} = \frac{42 - 2\sqrt{409}}{2} = 21 - \sqrt{409} \approx 0.72.$$
  18. Так как (v_1 = v_2 - 2), то (v_{2,2}) не подходит, потому что скорость первого бегуна будет отрицательной.
  19. Значит, (v_2 = 21 + \sqrt{409} \approx 41.28) км/ч.
  20. Тогда (v_1 = v_2 - 2 = 19 + \sqrt{409} \approx 39.28) км/ч.
Ответ: скорость первого бегуна равна приблизительно 39.28 км/ч.
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю