21 Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 15 минут, когда одному из них оставалось 250 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 5 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 6 км/ч меньше скорости второго.

Определим предмет и тему задания: это задача по математике на движение по окружности.

Извлечём данные:

• Два бегуна стартовали одновременно.
• Движение в одном направлении по кругу.
• Через 15 минут одному оставалось 250 м до конца круга.
• Второй пробежал круг на 5 минут раньше.
• Скорость первого на 6 км/ч меньше, чем у второго.

Решение:

Пусть:

• $$v_1$$ – скорость первого бегуна (км/ч).
• $$v_2$$ – скорость второго бегуна (км/ч).
• $$L$$ – длина круга (км).

Из условия задачи:

1. $$v_2 = v_1 + 6$$
2. Первый бегун за 15 минут (0,25 часа) пробежал $$L - 0.25$$ км. $$0.25v_1 = L - 0.25$$.
3. Второй бегун пробежал круг за время на 5 минут (≈0,0833 часа) меньше: $$\frac{L}{v_1 + 6} = \frac{L}{v_1} - \frac{1}{12}$$.

Выразим L из первого уравнения: $$L = 0.25v_1 + 0.25$$.

Подставим это во второе уравнение:

$$\frac{0.25v_1 + 0.25}{v_1 + 6} = \frac{0.25v_1 + 0.25}{v_1} - \frac{1}{12}$$

Умножим обе части уравнения на 12$$v_1$$(v_1 + 6):

$$3v_1(0.25v_1 + 0.25) = 12(0.25v_1 + 0.25)(v_1 + 6) - v_1(v_1 + 6)$$ $$0.75v_1^2 + 0.75v_1 = (3v_1 + 3)(v_1 + 6) - v_1^2 - 6v_1$$ $$0.75v_1^2 + 0.75v_1 = 3v_1^2 + 18v_1 + 3v_1 + 18 - v_1^2 - 6v_1$$ $$0.75v_1^2 + 0.75v_1 = 2v_1^2 + 15v_1 + 18$$

Приведём к квадратному уравнению:

$$1.25v_1^2 + 14.25v_1 + 18 = 0$$

Умножим на 4 для упрощения: $$5v_1^2 + 57v_1 + 72 = 0$$.

Решим квадратное уравнение:

$$D = 57^2 - 4 \cdot 5 \cdot 72 = 3249 - 1440 = 1809$$ $$v_1 = \frac{-57 \pm \sqrt{1809}}{10}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, берём положительное значение:

$$v_1 = \frac{-57 + \sqrt{1809}}{10} ≈ \frac{-57 + 42.53}{10} ≈ -1.447$$

Произошла ошибка в решении, потому что мы получили отрицательную скорость. Проверим ещё раз условие. Заметим, что 250 м = 0,25 км.

Пусть t = 15 минут = 0.25 часа. Тогда:

L = (v2) * (t - 5/60) = (v1 + 6) * (0.25 - 1/12) = (v1 + 6) * (1/6)

L = v1 * t + 0.25

v1 * 0.25 + 0.25 = (v1 + 6) * (1/6)

0.25v1 + 0.25 = v1/6 + 1

0.25v1 - v1/6 = 1 - 0.25

(3/12 - 2/12)v1 = 0.75

(1/12)v1 = 0.75

v1 = 0.75 * 12 = 9 км/ч

Проверим:

v2 = 9 + 6 = 15 км/ч

L = 9 * 0.25 + 0.25 = 2.25 + 0.25 = 2.5 км

t2 = 2.5/15 = 1/6 часа = 10 минут.

15 - 10 = 5 минут, что сходится с условием.

Ответ: 9 км/ч