Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой – со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?

Решение:

Обозначим собственную скорость первого человека как \( v_1 = 2,7 \) км/ч, а второго — \( v_2 = 3,6 \) км/ч. Расстояние до опушки \( S = 3,5 \) км.

Пусть \( t \) — время до встречи.

Первый человек идет к опушке, а второй возвращается с опушки. Их суммарная скорость сближения равна сумме их скоростей: \( v_{сбл} = v_1 + v_2 = 2,7 + 3,6 = 6,3 \) км/ч.

Они встретятся, когда суммарное расстояние, которое они преодолеют, будет равно удвоенному расстоянию до опушки (поскольку они шли навстречу друг другу, но стартовали из одной точки, двигаясь в противоположные стороны, а затем второй повернул обратно). Однако, в условии сказано, что они отправляются в одну сторону, а второй возвращается. Это означает, что второй человек доходит до опушки, а затем разворачивается. Встреча произойдет, когда сумма расстояний, пройденных каждым, будет равна удвоенному расстоянию до опушки, если бы они двигались навстречу друг другу от начала. Но здесь они движутся в одном направлении, пока второй не развернется.

Правильное условие для встречи:

Пусть \( t \) — время, через которое они встретятся. Расстояние, которое пройдет первый человек: \( S_1 = v_1 · t = 2,7t \).

Второй человек пройдет \( S = 3,5 \) км до опушки, а затем вернется на расстояние \( S_{возвр} = v_2 · (t - t_{до_опушки}) \). Время, за которое второй дошел до опушки: \( t_{до_опушки} = \frac{S}{v_2} = \frac{3,5}{3,6} \) ч.

Расстояние, которое пройдет второй человек к моменту встречи:

Второй человек доходит до опушки (3.5 км) и идет обратно. Пусть время до встречи равно \( t \). Время, которое второй потратил на путь туда и обратно до момента встречи: \( t \). Расстояние, которое второй прошел до опушки: \( S = 3.5 \) км. Время на путь туда: \( t_{до} = \frac{3.5}{3.6} \) ч. Время, которое второй идет обратно: \( t_{обр} = t - t_{до} \). Расстояние, которое он прошел обратно: \( S_{обр} = v_2 · t_{обр} = 3.6 · (t - \frac{3.5}{3.6}) \). Общее расстояние, пройденное вторым: \( S_2 = 3.5 + S_{обр} = 3.5 + 3.6t - 3.5 = 3.6t \) — это неверно.

Переосмыслим задачу:

Пусть \( t \) — время до встречи. Расстояние, которое пройдет первый: \( S_1 = 2,7t \). Расстояние, которое пройдет второй: он идет до опушки (3,5 км) и возвращается. Время, за которое второй дошел до опушки: \( t_{до} = \frac{3,5}{3,6} \) ч. Время, за которое второй пройдет обратно \( x \) км: \( t_{обр} = \frac{x}{3,6} \). Всего второй пройдет \( 3,5 + x \) км. Время второго: \( t = \frac{3,5}{3,6} + \frac{x}{3,6} \). В момент встречи они будут на одном расстоянии от старта. Первый пройдет \( 2,7t \). Второй пройдет \( 3,5 \) км туда и \( 3,5 - d \) км обратно, где \( d \) — расстояние от старта до точки встречи. Таким образом, \( S_1 = d \).

Пусть \( t \) — время до встречи. Расстояние, которое пройдет первый: \( S_1 = 2,7t \). Расстояние, которое пройдет второй: он доходит до опушки (3,5 км) и возвращается. Время, которое второй пройдет до опушки: \( t_{до} = \frac{3,5}{3,6} \) ч. За это время первый пройдет: \( S_{1,до} = 2,7 · \frac{3,5}{3,6} = \frac{2,7 · 3,5}{3,6} = \frac{9,45}{3,6} = 2,625 \) км.

Когда второй разворачивается, он находится на расстоянии 3,5 км от старта, а первый — на расстоянии 2,625 км от старта. Расстояние между ними: \( 3,5 - 2,625 = 0,875 \) км.

Скорость сближения второго (двигающегося навстречу первому) и первого: \( v_{сбл} = v_2 + v_1 = 3,6 + 2,7 = 6,3 \) км/ч.

Время до встречи после разворота второго: \( t_{встречи} = \frac{0,875}{6,3} = \frac{875}{6300} = \frac{175}{1260} = \frac{35}{252} = \frac{5}{36} \) ч.

За это время первый пройдет дополнительное расстояние: \( S_{доп} = v_1 · t_{встречи} = 2,7 · \frac{5}{36} = \frac{2,7 · 5}{36} = \frac{13,5}{36} = 0,375 \) км.

Общее расстояние от точки отправления до места встречи: \( S_{места_встречи} = S_{1,до} + S_{доп} = 2,625 + 0,375 = 3 \) км.

Проверка:

Время до встречи: \( t_{до_опушки} + t_{встречи} = \frac{3,5}{3,6} + \frac{5}{36} = \frac{35}{36} + \frac{5}{36} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9} \) ч.

Расстояние, которое прошел первый: \( 2,7 · \frac{10}{9} = \frac{2,7 · 10}{9} = \frac{27}{9} = 3 \) км.

Расстояние, которое прошел второй: он прошел 3,5 км до опушки, а затем вернулся на \( 3,5 - 3 = 0,5 \) км. Общее расстояние, которое он прошел: \( 3,5 + 0,5 = 4 \) км. Время, за которое он это прошел: \( \frac{4}{3,6} = \frac{40}{36} = \frac{10}{9} \) ч. Время совпадает.

Ответ: их встреча произойдет на расстоянии 3 км от точки отправления.