Контрольные задания > Два диаметра PQ и RT одной окружности радиусом 9 пересекаются в точке S. Найдите периметр треугольника TSQ, если известно, что длина отрезка PR равна 14.
Вопрос:

Два диаметра PQ и RT одной окружности радиусом 9 пересекаются в точке S. Найдите периметр треугольника TSQ, если известно, что длина отрезка PR равна 14.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Краткое пояснение: Для нахождения периметра треугольника TSQ, нам нужно знать длины его сторон: TS, SQ и TQ. Так как PQ и RT — диаметры, а S — центр окружности, то TS, SQ, TQ и SP — радиусы. Длина отрезка PR равна 14, и так как PR — хорда, а PS — радиус, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения половины хорды SR.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определяем, что S — центр окружности, а PQ и RT — диаметры. Радиус окружности равен 9. Следовательно, TS = SQ = TQ = SP = 9.
  2. Шаг 2: Дан отрезок PR = 14. Этот отрезок является хордой. В равнобедренном треугольнике PSR (PS = SR = радиус), опустим перпендикуляр из S на PR. Пусть точка пересечения будет M. Тогда PM = MR = PR/2 = 14/2 = 7.
  3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике SMR (или SMP), применим теорему Пифагора: \( SR^2 = SM^2 + MR^2 \). Мы знаем SR (радиус = 9) и MR = 7. \( 9^2 = SM^2 + 7^2 \) \( 81 = SM^2 + 49 \) \( SM^2 = 81 - 49 \) \( SM^2 = 32 \) \( SM = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \).
  4. Шаг 4: Треугольник TSQ равнобедренный, так как TS = SQ = 9. Для нахождения стороны TQ, рассмотрим треугольник TQR. TQR — прямоугольный, так как опирается на диаметр RT. Однако, нам не дано, что PQ перпендикулярно RT.
  5. Шаг 5: Важно заметить, что PQ и RT — диаметры. Точка S является серединой каждого диаметра. Таким образом, S является центром окружности. Все радиусы равны 9. Следовательно, TS = SQ = 9.
  6. Шаг 6: Треугольник TSQ является равнобедренным. Для нахождения периметра нам нужно знать длину TQ. TQ — это хорда.
  7. Шаг 7: Длина хорды PR = 14. Поскольку S — центр окружности, расстояние от S до хорды PR можно найти. Проведем перпендикуляр SM к PR. M — середина PR, значит PM = MR = 14/2 = 7. В прямоугольном треугольнике SMP, \( SP^2 = SM^2 + PM^2 \). \( 9^2 = SM^2 + 7^2 \) \( 81 = SM^2 + 49 \) \( SM^2 = 32 \).
  8. Шаг 8: Теперь рассмотрим хорду TQ. Мы не знаем её длину напрямую. Однако, заметьте, что PQ и RT — диаметры. Это означает, что точки P, Q, R, T лежат на окружности.
  9. Шаг 9: Так как S — центр, то SQ = ST = SR = SP = 9. Треугольник TSQ равнобедренный, TS = SQ = 9. Нам нужно найти TQ.
  10. Шаг 10: Переосмыслим условие. S — точка пересечения диаметров PQ и RT. Это означает, что S — центр окружности. Радиус = 9. Следовательно, TS = SQ = 9.
  11. Шаг 11: Периметр треугольника TSQ = TS + SQ + TQ = 9 + 9 + TQ = 18 + TQ. Нам нужно найти TQ.
  12. Шаг 12: Длина хорды PR = 14. В треугольнике PSR, PS = SR = 9. Треугольник PSR является равнобедренным.
  13. Шаг 13: Если PQ и RT — диаметры, то P, Q, R, T — точки на окружности. S — центр.
  14. Шаг 14: Стороны треугольника TSQ: TS = 9, SQ = 9. Требуется найти TQ.
  15. Шаг 15: Рассмотрим хорду PR = 14. Расстояние от центра S до хорды PR (SM) = \( √{9^2 - 7^2} \) = \( √{81 - 49} \) = \( √{32} \) = \( 4√{2} \).
  16. Шаг 16: Теперь рассмотрим хорду TQ. Мы не знаем ее длины. Однако, TQ является другой диагональю в четырехугольнике PRTQ.
  17. Шаг 17: Заметим, что TQ является стороной треугольника TSQ. TS = SQ = 9.
  18. Шаг 18: Если PQ и RT — диаметры, то TQ — это также хорда.
  19. Шаг 19: Обратим внимание на условие:
ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю