664. Два 3D-принтера разной мощности изготовили за 2 ч 55 мин некоторое количество деталей. За какое время это количество деталей мог бы изготовить первый 3D-принтер, если известно, что ему для этого потребуется на 2 ч больше, чем второму 3D-принтеру?

Пусть $$x$$ - время, за которое второй 3D-принтер изготовит все детали (в часах). Тогда первый 3D-принтер изготовит все детали за $$x + 2$$ часа. Вместе они изготавливают детали за 2 часа 55 минут, что составляет $$2 + \frac{55}{60} = 2 + \frac{11}{12} = \frac{24+11}{12} = \frac{35}{12}$$ часа. Производительность первого принтера равна $$\frac{1}{x+2}$$ (деталей в час), а производительность второго принтера равна $$\frac{1}{x}$$ (деталей в час). Вместе их производительность равна $$\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x}$$. За время $$\frac{35}{12}$$ они изготавливают все детали, то есть: $$\frac{35}{12} \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x} \right) = 1$$ $$\frac{35}{12} \cdot \frac{x + x + 2}{x(x+2)} = 1$$ $$\frac{35}{12} \cdot \frac{2x + 2}{x^2 + 2x} = 1$$ $$\frac{35(2x+2)}{12(x^2+2x)} = 1$$ $$35(2x+2) = 12(x^2+2x)$$ $$70x + 70 = 12x^2 + 24x$$ $$12x^2 - 46x - 70 = 0$$ $$6x^2 - 23x - 35 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$6x^2 - 23x - 35 = 0$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{(-23)^2 - 4(6)(-35)}}{2(6)} = \frac{23 \pm \sqrt{529 + 840}}{12} = \frac{23 \pm \sqrt{1369}}{12} = \frac{23 \pm 37}{12}$$ Получаем два решения: $$x_1 = \frac{23 + 37}{12} = \frac{60}{12} = 5$$ $$x_2 = \frac{23 - 37}{12} = \frac{-14}{12} = - \frac{7}{6}$$ Так как время не может быть отрицательным, $$x=5$$ часов - время, за которое второй 3D-принтер изготовит все детали. Тогда первый 3D-принтер изготовит все детали за $$x + 2 = 5 + 2 = 7$$ часов. Ответ: 7 часов.